المساحة والحجم والمساحة السطحية في رياضيات IGCSE: القطاعات والمخاريط والكرات

القوانين المعطاة والقوانين التي يجب حفظها

من قائمة صيغ كامبريدج 0580 للمستويين، والملحقين ٤ و٥ في منهج إدكسل 4MA1.

الأفكار الأساسية

القوس جزء من المحيط والقطاع الجزء نفسه من المساحة: طول القوس = (θ/360) × 2πr ومساحة القطاع = (θ/360) × πr^2. ومحيط القطاع هو القوس مع نصفي القطر، وكثيرًا ما يُنسى ذلك.

للمنشور مقطع ثابت، فحجمه = مساحة المقطع × الطول، والأسطوانة منشور دائري. والهرم والمخروط ثلث المنشور المقابل: V = 1/3 × مساحة القاعدة × الارتفاع. وحجم الكرة 4/3 πr^3 ومساحة سطحها 4πr^2.

المساحة الجانبية للمخروط تستخدم الارتفاع الجانبي l لا الارتفاع الرأسي: πrl حيث l = sqrt(r^2 + h^2). والمخروط الناقص (كامبريدج الموسّع) مخروط مقطوع رأسه، فنطرح المخروط الصغير من الكبير.

الوحدات تتضاعف مع البعد: ١ م = ١٠٠ سم، إذن ١ م مربع = ١٠٠٠٠ سم مربع، و١ م مكعب = ١٠٠٠ لتر. وعبارة «بدلالة π» تعني ترك π في الجواب مثل 24π.

مثال محلول ١: قطاع دائري

1. قطاع نصف قطره ٨ سم وزاويته ١٣٥ درجة.
2. الجزء من الدائرة: 135/360 = 0.375.
3. طول القوس = 6π = 18.8 سم، والمحيط = 6π + 16 = 34.8 سم.
4. المساحة = 24π = 75.4 سم مربع.

مثال محلول ٢: مخروط

1. مخروط نصف قطر قاعدته ٦ سم وارتفاعه ٨ سم.
2. الحجم = 1/3 × π × 36 × 8 = 96π سم مكعب.
3. الارتفاع الجانبي = sqrt(36 + 64) = 10.
4. المساحة الكلية = 60π + 36π = 96π سم مربع.

مثال محلول ٣ (كامبريدج الموسّع): مخروط ناقص وتحويل وحدات

1. مخروط نصف قطره ٦ وارتفاعه ١٢ قُطع منه مخروط نصف قطره ٢ وارتفاعه ٤.
2. الكبير 144π والصغير 16π/3.
3. الحجم = 416π/3 = 436 سم مكعب لثلاثة أرقام معنوية.
4. خزان أبعاده ١٫٢ م و٠٫٨ م و٠٫٥ م حجمه ٠٫٤٨ م مكعب، أي ٤٨٠ لترًا.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• استخدام الارتفاع الرأسي بدل الجانبي في πrl.
• نسيان نصفي القطر في محيط القطاع أو الدائرة المسطحة في نصف الكرة.
• تحويل وحدات المساحة بمعامل ١٠٠ بدل ١٠٠٠٠.
• استخدام القطر بدل نصف القطر.
• تقريب π أو القيم الوسيطة مبكرًا.
• نسيان أوجه عند حساب المساحة السطحية للمنشور.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

اقرأ الصفحة الأولى من الورقة ففيها قائمة الصيغ. لا يعطي كامبريدج قانون شبه المنحرف ويعطيه إدكسل، ولا يعطي أيٌّ منهما قوانين القوس والقطاع. وإذا قيل «بدلالة π» فأبقِ π رمزًا حتى النهاية. وفي الأشكال المركبة ارسم كل جزء منفصلًا بأبعاده، وحوّل الوحدات قبل الحساب.

في الدرس الفردي يرسم المدرس الشبكات والمقاطع على السبورة المشتركة ليرى الطالب الأوجه التي تكوّن المساحة السطحية، ثم ينتقل إلى المسائل متعددة الخطوات التي تأتي في آخر الأوراق، حيث المهارة في تخطيط الخطوات لا في تذكر القانون.

اختبر نفسك

• جد مساحة شبه منحرف ضلعاه المتوازيان ٥ و٩ سم وارتفاعه ٤ سم. (الجواب: ٢٨ سم مربع)
• جد حجم كرة نصف قطرها ٣ سم. (الجواب: 36π أي ١١٣ سم مكعب)
• جد محيط دائرة قطرها ١٠ سم. (الجواب: ٣١٫٤ سم)
• جد حجم أسطوانة نصف قطرها ٢ سم وارتفاعها ٥ سم. (الجواب: 20π أي ٦٢٫٨ سم مكعب)
• حوّل ٣٫٥ م مربع إلى سم مربع. (الجواب: ٣٥٠٠٠ سم مربع)