التحويلات الهندسية في رياضيات IGCSE: الانعكاس والدوران والتكبير والانسحاب

ما يحتاجه الوصف الكامل

تُطبع المتجهات العمودية رأسيًا في الامتحان، و(3, -2) هنا تعني ٣ إلى اليمين و٢ إلى الأسفل.

ما يطلبه كل مستوى

الأفكار الأساسية

الانعكاس والدوران والانسحاب تحافظ على شكل الشكل وحجمه، فالصورة مطابقة للأصل. أما التكبير فيغيّر الأطوال بمعامل التكبير ويحافظ على الزوايا، فالصورة مشابهة. والمعامل بين ٠ و١ يصغّر الشكل، والمعامل السالب يضع الصورة في الجهة المقابلة من المركز مقلوبة.

قواعد مفيدة حول نقطة الأصل: الانعكاس في محور x يحوّل (x, y) إلى (x, -y)، وفي محور y إلى (-x, y)، وفي y = x إلى (y, x)، والدوران ٩٠ درجة عكس عقارب الساعة إلى (-y, x)، والدوران ١٨٠ درجة إلى (-x, -y). ولمراكز أخرى استخدم ورق الشفاف المسموح به في الامتحان.

لإيجاد مركز التكبير ارسم خطوطًا تمر بأزواج النقاط المتناظرة ومدّها حتى تلتقي عند المركز.

مثال محلول ١: دوران مثلث وانعكاسه

1. رؤوس المثلث A هي (1, 1) و(3, 1) و(1, 2).
2. الدوران ٩٠ درجة عكس عقارب الساعة حول (0, 0): الرؤوس (-1, 1) و(-1, 3) و(-2, 1).
3. الانعكاس في y = x: الرؤوس (1, 1) و(1, 3) و(2, 1)، والنقطة (1, 1) على خط الانعكاس فتبقى مكانها.

مثال محلول ٢: وصف تكبير وصفًا كاملًا

1. رؤوس A هي (2, 2) و(4, 2) و(2, 3)، ورؤوس B هي (3, 1) و(7, 1) و(3, 3).
2. قاعدة A طولها ٢ وقاعدة B طولها ٤، فالمعامل ٢.
3. المركز = ٢ × النقطة الأصلية - صورتها: (4 - 3, 4 - 1) = (1, 3)، ونتحقق بزوج آخر فنحصل على النقطة نفسها.
4. الجواب: تكبير بمعامل ٢ ومركز (1, 3).

مثال محلول ٣ (كامبريدج الموسّع): المعامل السالب والتركيب

1. تكبير المثلث A بمعامل ٢- ومركز (0, 0): (-2, -2) و(-6, -2) و(-2, -4).
2. الصورة في الجهة المقابلة مقلوبة، والأطوال مضاعفة والمساحة أربعة أمثال.
3. انعكاس في محور x ثم في محور y: (x, y) → (x, -y) → (-x, -y).
4. وهذا يكافئ دورانًا بزاوية ١٨٠ درجة حول (0, 0).

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• ذكر تحويلين حين يطلب السؤال تحويلًا واحدًا.
• نقص تفصيل: دوران بلا اتجاه أو مركز، أو تكبير بلا مركز.
• وصف خط الانعكاس بالكلمات بدل معادلة مثل x = 2.
• كتابة الانسحاب إحداثيات أو كلمات بدل متجه عمودي.
• الخلط بين x = k (رأسي) وy = k (أفقي).
• حساب المعامل من الصورة إلى الأصل فيصبح ½ بدل ٢.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

اطلب ورق الشفاف في بداية الامتحان فالمنهجان يسمحان به. في أسئلة «صف وصفًا كاملًا» اكتب نوع التحويل أولًا ثم كل التفاصيل وراجعها مع الجدول أعلاه، واستخدم المسطرة لكل الأضلاع المستقيمة كما يشترط كامبريدج. ولا تجمع أسئلة كامبريدج الأساسي بين تحويلين.

التحويلات موضوع بصري، وفي الدرس الفردي الأونلاين يدير المدرس الأشكال ويعكسها مباشرة على السبورة المشتركة بينما يتوقع الطالب موقعها، فتُصحح بسرعة أخطاء مثل الخلط بين اتجاهي الدوران أو اتجاه المعامل السالب، ثم يتدرب الطالب على الصياغة الدقيقة للوصف الكامل.

اختبر نفسك

• انسحب بالنقطة (2, -3) بالمتجه (-4, 5). (الجواب: (-2, 2))
• أدر (3, 1) بزاوية ٩٠ درجة مع عقارب الساعة حول نقطة الأصل. (الجواب: (1, -3))
• اعكس (4, 1) في الخط x = 2. (الجواب: (0, 1))
• كبّر (2, 4) بمعامل ½ ومركز (0, 0). (الجواب: (1, 2))
• أدر (3, 2) بزاوية ١٨٠ درجة حول (1, 1). (الجواب: (-1, 0))