المعادلات الآنية في رياضيات IGCSE: الحذف والتعويض والحالة الخطية التربيعية

ما يطلبه كل مستوى

الأفكار الأساسية

كل معادلة خطية في x وy تمثل خطًا مستقيمًا، وحل المعادلتين هو نقطة تقاطع الخطين. لذلك يوجد زوج واحد من القيم لخطين غير متوازيين، والحل البياني يعطي الجواب نفسه.

الحذف: اضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما لتتساوى معاملات أحد المتغيرين. إذا تشابهت الإشارتان فاطرح، وإذا اختلفتا فاجمع. ثم حل للمتغير الباقي وعوّض في إحدى المعادلتين الأصليتين.

التعويض: إذا كانت إحدى المعادلتين تعطي y وحدها مثل y = 2x - 11 فضع هذا التعبير مكان y في الأخرى. وهذه الطريقة الوحيدة العملية حين تحتوي المعادلة الثانية على x^2 أو y^2، وغالبًا تنتج معادلة تربيعية لها جذران، فتنتهي بزوجين من الحلول، لأن الخط قد يقطع الدائرة أو القطع المكافئ في نقطتين.

مثال محلول ١: حلّ 2x + 3y = 17 و3x - 5y = 35

1. نضرب الأولى في ٣ فتصبح 6x + 9y = 51، والثانية في ٢ فتصبح 6x - 10y = 70.
2. إشارتا x متشابهتان فنطرح: 19y = -19، إذن y = -1.
3. نعوّض في الأولى: 2x - 3 = 17، إذن x = 10.
4. نتحقق في الثانية: 30 + 5 = 35. الجواب x = 10 وy = -1.

مثال محلول ٢: حلّ y = 2x - 11 وx^2 + y^2 = 25

1. نعوّض الخط في الدائرة: x^2 + (2x - 11)^2 = 25.
2. بالفك: 5x^2 - 44x + 96 = 0.
3. بالتحليل: (5x - 24)(x - 4) = 0، إذن x = 4 أو x = 4.8.
4. من المعادلة الخطية: عندما x = 4 فإن y = -3، وعندما x = 4.8 فإن y = -1.4.
5. نتحقق في الدائرة: 16 + 9 = 25 و23.04 + 1.96 = 25. الحلان (4, -3) و(4.8, -1.4).

مثال محلول ٣: تكوين المعادلتين من مسألة

1. ثلاثة أقلام ومسطرتان بسعر ٤٫٣٠ دولار، وقلم ومسطرتان بسعر ٢٫١٠ دولار. ليكن سعر القلم p والمسطرة r.
2. المعادلتان: 3p + 2r = 4.30 وp + 2r = 2.10.
3. بالطرح: 2p = 2.20، إذن p = 1.10، ثم r = 0.50.
4. التحقق: 3.30 + 1.00 = 4.30.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• ضرب طرف واحد من المعادلة أو بعض حدودها فقط عند مساواة المعاملات.
• الطرح بدل الجمع حين تختلف الإشارتان.
• أخطاء الأعداد السالبة في خطوة الطرح، فـ 51 - 70 تساوي ١٩- لا ١٩.
• في الحالة الخطية التربيعية: إعطاء قيم x وحدها، أو ربط x بقيمة y خاطئة.
• فك المربع خطأً: (2x - 11)^2 تساوي 4x^2 - 44x + 121 وليس 4x^2 + 121.
• عدم التحقق بالتعويض في المعادلة التي لم تستخدمها.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

المعادلات الآنية الخطية درجات مضمونة، عادةً ٣ أو ٤، وتأتي في الأوراق بلا آلة حاسبة، فتدرّب عليها يدويًا واكتب المعادلتين بعد الضرب وسطر الجمع أو الطرح، فهذه الأسطر تحمل درجات الطريقة. أما الحالة الخطية التربيعية فسؤال أطول يتوقع فيه المصحح زوجين كاملين من الإحداثيات.

في الدرس الفردي يرى المدرس أين يتعثر الطالب تحديدًا: اختيار العملية الخاطئة، أو ضياع إشارة سالبة، أو الضياع في فك المعادلة التربيعية، فيعالج ذلك بأسئلة متدرجة قصيرة، ثم ينتقل إلى مسائل امتحانات سابقة يكوّن فيها الطالب المعادلتين بنفسه من نص المسألة.

اختبر نفسك

• حلّ x + y = 14 وx - y = 2. (الجواب: x = 8 وy = 6)
• حلّ 2a + 5b = 12 و3a + b = 5. (الجواب: a = 1 وb = 2)
• حلّ y = x^2 وy = x + 6. (الجواب: (3, 9) و(-2, 4))
• حلّ y = 11x - 2 وy = 5x^2. (الجواب: (2, 20) و(0.2, 0.2))
• اشرح ماذا يمثل حل معادلتين خطيتين على الرسم البياني.