الدوال في رياضيات IGCSE: الرموز والمجال والدالة العكسية والمركبة

ما يطلبه كل مستوى

الأفكار الأساسية

رمز الدالة طريقة مختصرة لكتابة قاعدة. إذا كانت f(x) = 3x - 5 فإن f(4) تعني التعويض بـ ٤: f(4) = 7. ويكتب منهج إدكسل الدالة نفسها f : x ↦ 3x - 5، ويمكن التعويض بعبارات أيضًا: f(2a) = 6a - 5.

المجال مجموعة المدخلات المسموح بها، والمدى مجموعة المخرجات. وأسئلة المجال في IGCSE غالبًا عن القيم المستبعدة: لا قسمة على صفر، فالدالة 1/(x - 2) تتطلب x ≠ 2، ولا جذر لعدد سالب، فالجذر sqrt(x - 3) يتطلب x ≥ 3. والدالة 2x^2 + 3 لا تقل أبدًا عن ٣.

الدالة المركبة تطبق دالة على ناتج دالة أخرى: fg(x) = f(g(x))، فاحسب g(x) أولًا ثم ضعها كاملة في f. وعمومًا fg(x) لا تساوي gf(x).

الدالة العكسية تلغي أثر الأصلية: إذا كان f(4) = 7 فإن f^-1(7) = 4. ولإيجادها اكتب y = f(x)، واجعل x موضوع القانون، ثم استبدل y بـ x.

مثال محلول ١: f(x) = 3x - 5 وg(x) = x^2 + 1. جد fg(x) وgf(x) وfg(2)

1. fg(x) = f(x^2 + 1) = 3(x^2 + 1) - 5 = 3x^2 - 2.
2. gf(x) = g(3x - 5) = (3x - 5)^2 + 1 = 9x^2 - 30x + 26.
3. fg(2) = 12 - 2 = 10، أو على خطوتين: g(2) = 5 ثم f(5) = 10.
4. للتحقق: f(2) = 1 ثم g(1) = 2، والصيغة تعطي 36 - 60 + 26 = 2. والقيمتان مختلفتان، فالترتيب مهم.

مثال محلول ٢: جد الدالة العكسية لـ f(x) = 2x/(x - 3)

1. اكتب y = 2x/(x - 3)، ثم اضرب في (x - 3): xy - 3y = 2x.
2. اجمع حدود x في طرف واحد: xy - 2x = 3y.
3. أخرج x عاملًا مشتركًا: x(y - 2) = 3y، إذن x = 3y/(y - 2).
4. الجواب: f^-1(x) = 3x/(x - 2). للتحقق: f(4) = 8 وf^-1(8) = 24/6 = 4.

مثال محلول ٣: حل معادلة بالدوال

1. f(x) = 2x - 3. حلّ f(x) = f^-1(x).
2. الدالة العكسية: f^-1(x) = (x + 3)/2.
3. نساويهما: 2x - 3 = (x + 3)/2، فنضرب في ٢: 4x - 6 = x + 3، إذن x = 3.
4. للتحقق: f(3) = 3 وf^-1(3) = 3.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• الترتيب الخاطئ في الدالة المركبة، فـ fg(x) تعني g أولًا.
• كتابة f^-1(x) على أنها 1/f(x)، والصحيح أنها الدالة العكسية لا المقلوب.
• نسيان الأقواس عند التعويض بعبارة.
• التوقف مبكرًا حين تظهر x مرتين، والصحيح جمع حدود x ثم إخراجها عاملًا.
• ترك الدالة العكسية بدلالة y بدل x.
• فك (3x - 5)^2 على أنها 9x^2 + 25.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

تأتي أسئلة الدوال عادةً في أجزاء قصيرة: حساب قيمة، ثم دالة مركبة، ثم عكسية، ثم معادلة. وكل جزء مستقل غالبًا، فإذا تعثرت في جزء فانتقل إلى التالي ثم عُد. وتحقق من كل دالة عكسية بعدد واحد: احسب f له ثم ضع الناتج في الدالة العكسية وانظر هل تعود إلى العدد الأصلي.

كثير من الطلاب يفهمون الدوال في الدرس ثم يرتبكون أمام الرموز في الامتحان. في الدرس الفردي يعيد المدرس السؤال إلى تعويض بسيط ثم يبني الرموز طبقة طبقة، ويعطي أسئلة بالصيغتين f(x) وf : x ↦ حتى تصبح مألوفة.

اختبر نفسك

• f(x) = 2x + 1 وg(x) = x^2. جد fg(3) وgf(3). (الجواب: ١٩ و٤٩)
• جد الدالة العكسية لـ f(x) = 4x - 7. (الجواب: (x + 7)/4)
• جد الدالة العكسية لـ g(x) = 3/(x + 2). (الجواب: (3 - 2x)/x)
• ما القيمة المستبعدة من مجال f(x) = 1/(x - 2)؟ (الجواب: x = 2)
• اشرح لماذا تختلف fg(x) عن gf(x) عادةً.