باختصار
- كامبريدج 0580
- الأساسي C8.1 إلى C8.3، الموسّع E8.1 إلى E8.4
- إدكسل 4MA1
- التأسيسي 6.3A إلى J، العالي 6.3A إلى D
- التكرار المتوقع
- الاحتمال × عدد المحاولات
- صيغة الجواب
- كسر أو عدد عشري أو نسبة مئوية
ما يطلبه كل مستوى
| المنهج والمستوى | رقم البند | ما يمكن أن يُسأل عنه |
|---|---|---|
| كامبريدج 0580 الأساسي | C8.1 إلى C8.3 | مقياس الاحتمال، والأحداث المفردة، والمتمم، والتكرار النسبي والمتوقع، والأحداث المركبة مع الإرجاع بفضاء العينة وأشكال فن لمجموعتين والشجرة |
| كامبريدج 0580 الموسّع | E8.1 إلى E8.4 | الرموز P(A) وP(A′)، والسحب مع الإرجاع ودونه، وP(A ∩ B) وP(A ∪ B)، والاحتمال الشرطي من أشكال فن والشجرة والجداول |
| إدكسل 4MA1 التأسيسي | 6.3A إلى 6.3J | لغة الاحتمال ومقياسه، وأشكال فن، وفضاء العينة، والتكرار النسبي، والمتمم، وجمع الأحداث المتنافية، والتكرار المتوقع |
| إدكسل 4MA1 العالي | 6.3A إلى 6.3D | مخططات الشجرة، والأحداث المستقلة، والاحتمال الشرطي البسيط كالسحب دون إرجاع |
الأفكار الأساسية
للنتائج المتساوية الإمكان: الاحتمال = عدد النتائج المطلوبة ÷ عدد النتائج الكلي. وفضاء العينة يسرد كل النتائج، وهو أسلم طريقة مع حجري نرد: ٣٦ نتيجة منها ٦ مجموعها ٧، فالاحتمال 6/36 = 1/6.
التكرار النسبي، أي عدد مرات وقوع الحدث مقسومًا على عدد المحاولات، تقدير للاحتمال من تجربة، ويزداد موثوقية بزيادة المحاولات. والتكرار المتوقع عكسه: إذا كان الاحتمال ٠٫٤ والمحاولات ٣٠٠ فالمتوقع ١٢٠.
في مخطط الشجرة مجموع الفروع الخارجة من نقطة واحدة يساوي ١. نضرب على طول المسار، ونجمع المسارات التي تكوّن الحدث المطلوب. ودون إرجاع يقل عدد اللون المسحوب والعدد الكلي بمقدار واحد في المرحلة الثانية.
الاحتمال الشرطي هو احتمال A بشرط وقوع B: نقصر النظر على B، ففي شكل فن هو العدد في A وB معًا مقسومًا على العدد في B.
مثال محلول ١: سحب قطعتين دون إرجاع
- كيس فيه ٤ قطع حمراء و٣ زرقاء، سُحبت قطعتان عشوائيًا دون إرجاع.
- احتمال حمراء أولًا 4/7، ثم حمراء ثانيًا 3/6.
- احتمال حمراوين = 4/7 × 3/6 = 2/7.
- احتمال واحدة من كل لون = 4/7 × 3/6 + 3/7 × 4/6 = 24/42 = 4/7.
- للتحقق: احتمال زرقاوين 1/7، و2/7 + 4/7 + 1/7 = 1.
مثال محلول ٢: شكل فن والاحتمال الشرطي
- في مجموعة من ٤٠ طالبًا، ٢٥ يحبون الشاي و١٨ القهوة و٨ يحبون الاثنين.
- نملأ الشكل من الوسط: الاثنان ٨، الشاي فقط ١٧، القهوة فقط ١٠، ولا شيء ٥.
- احتمال الشاي دون القهوة = 17/40.
- بشرط أنه يحب القهوة: من ١٨ يحب ٨ الشاي، فالاحتمال 8/18 = 4/9.
مثال محلول ٣: التكرار النسبي والمتوقع
- استقر مؤشر الدوّارة على الأحمر ٣٢ مرة في ٨٠ دورة.
- التكرار النسبي = 32/80 = 0.4.
- المتوقع في ٢٠٠ دورة: 0.4 × 200 = 80.
- لو كانت الدوّارة عادلة بأربعة أقسام متساوية لكان الاحتمال ٠٫٢٥، فالنتيجة توحي بالتحيز، والمزيد من المحاولات يعطي حكمًا أوثق.
أخطاء شائعة تضيّع الدرجات
- الجمع على طول الفروع بدل الضرب.
- إبقاء المقام نفسه في الفرع الثاني رغم عدم الإرجاع.
- حساب مسار واحد لـ «واحدة من كل لون» مع أن هناك ترتيبين.
- كتابة الاحتمال نسبة مثل ٤ : ٧ أو بالكلمات.
- تكرار عدّ التقاطع في شكل فن.
- احتمال أكبر من ١ أو سالب، وهذا يستدعي المراجعة فورًا.
مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس
ارسم الشجرة حتى لو لم تُطلب، واكتب الاحتمالات على الفروع والنتائج في نهاياتها. اترك الكسور دون تبسيط حتى النهاية لتسهيل الجمع. وفي أسئلة «على الأقل واحد» استخدم المتمم: 1 - P(لا شيء)، فهو أسرع وأقل خطأً.
تعتمد أسئلة الاحتمال كثيرًا على قراءة السياق: هل هناك إرجاع؟ هل المقصود «بشرط أن»؟ في الدرس الفردي يطلب المدرس من الطالب أن يضع خطًا تحت هذه الكلمات ويرسما الشجرة معًا على السبورة المشتركة ثم يشرح كل فرع بصوت مسموع، وهذه العادة تمنع معظم الأخطاء.
اختبر نفسك
- P(B) = 0.8. جد احتمال عدم وقوع B. (الجواب: ٠٫٢)
- رُميت قطعتا نقود عادلتان. جد احتمال ظهور صورة واحدة على الأقل. (الجواب: 3/4)
- كيس فيه ٦ كرات خضراء و٤ صفراء، سُحبت كرتان دون إرجاع. جد احتمال صفراوين. (الجواب: 2/15)
- الكيس نفسه مع الإرجاع. جد احتمال خضراوين. (الجواب: ٠٫٣٦)
- حدث احتماله ٠٫١٥. كم مرة تتوقعه في ٤٠٠ محاولة؟ (الجواب: ٦٠)
أسئلة شائعة
متى أجمع الاحتمالات ومتى أضربها؟
اضرب في حالة «و» أي حدث يتبعه آخر على فرع الشجرة، واجمع في حالة «أو» حين لا يمكن وقوع النتيجتين معًا.
هل مخططات الشجرة في المستوى التأسيسي؟
في إدكسل 4MA1 هي من محتوى العالي (6.3A). وفي كامبريدج 0580 تأتي في الأساسي لكن مع الإرجاع فقط، أما دون إرجاع فمن الموسّع.
هل أحتاج الرمز P(A|B)؟
لا. ينص كامبريدج 0580 على أن هذا الرمز وقوانين الاحتمال الشرطي غير مطلوبة، ويصفه إدكسل بالاحتمال الشرطي البسيط، فتجده بالاستدلال من الشكل أو الجدول.
هل أكتب الاحتمال كسرًا أم عددًا عشريًا؟
يُقبل الكسر أو العدد العشري أو النسبة المئوية، ولا يُكتب الاحتمال نسبة أو بالكلمات.
كم تكلفة دروس LiveTutor؟
١٥ $ للدرس الفردي الأونلاين ومدته ٦٠ دقيقة لكل المواد والمستويات. الدرس الأول تجربة مجانية، والخطط من درس إلى خمسة دروس أسبوعيًا تُدفع شهريًا.
المصادر
التواريخ والأرقام في هذه الصفحة مأخوذة من هذه المصادر الرسمية والمنشورة. تأكد دائماً من المواعيد النهائية في الصفحة الرسمية قبل الاعتماد عليها.