حساب المثلثات في رياضيات IGCSE: النسب المثلثية وقانون الجيب وقانون جيب التمام

ما يطلبه كل مستوى

الأفكار الأساسية

سمِّ أضلاع المثلث القائم بالنسبة إلى الزاوية المستخدمة: الوتر يقابل الزاوية القائمة، والمقابل يواجه زاويتك، والمجاور بجوارها. ثم اختر النسبة التي تربط الضلع المعلوم بالمطلوب، ولإيجاد زاوية استخدم الدالة العكسية مثل tan^-1(5/12).

في المثلث غير القائم سمِّ الأضلاع a وb وc مقابل الزوايا A وB وC. إذا أعطاك السؤال زوجًا متقابلًا (ضلع والزاوية المقابلة له) فاستخدم قانون الجيب، وإذا أعطاك ضلعين والزاوية بينهما أو ثلاثة أضلاع فاستخدم قانون جيب التمام.

قانون الجيب لإيجاد زاوية قد يعطي جوابين لأن sin x = sin(180° - x)، وهذه الحالة الملتبسة. ومساحة أي مثلث 1/2 ab sin C.

ويتوقع كامبريدج الموسّع القيم الدقيقة دون آلة حاسبة، مثل sin 30° = 1/2 وtan 45° = 1 وtan 60° = sqrt(3)، وحل معادلات مثل 2cos x + 1 = 0.

مثال محلول ١: المثلث القائم

1. سلّم طوله ٦ أمتار يصنع زاوية ٧٠ درجة مع الأرض. ما الارتفاع الذي يصل إليه على الجدار؟
2. الارتفاع مقابل للزاوية والسلّم وتر، فنستخدم الجيب: 6 sin 70° = 5.638...
3. الجواب: ٥٫٦٤ م لثلاثة أرقام معنوية.
4. وفي مثلث قائم مقابله ٥ ومجاوره ١٢ تكون الزاوية tan^-1(5/12) = 22.6°، والوتر ١٣.

مثال محلول ٢: قانون جيب التمام والمساحة

1. المثلث PQR فيه PQ = 7 سم وPR = 9 سم والزاوية QPR = 50°. جد QR والمساحة.
2. QR^2 = 49 + 81 - 126 cos 50° = 49.008...
3. QR = 7.00 سم لثلاثة أرقام معنوية، مع الاحتفاظ بالقيمة الكاملة في الآلة.
4. المساحة = 1/2 × 7 × 9 × sin 50° = 24.1 سم مربع.

مثال محلول ٣: قانون الجيب والحالة الملتبسة

1. في المثلث ABC: a = 8 وb = 11 والزاوية A = 40°. جد القيم الممكنة للزاوية B.
2. sin B = 11 sin 40° / 8 = 0.8838...
3. B = 62.1° أو B = 117.9°.
4. 40° + 117.9° أقل من ١٨٠ درجة، فالمثلثان ممكنان والجوابان صحيحان.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• الآلة الحاسبة على وضع الراديان، فتأكد من وضع الدرجات قبل الامتحان.
• تسمية المقابل والمجاور من الزاوية الخطأ.
• الخطأ في ترتيب العمليات في قانون جيب التمام، فاحسب 2bc cos A أولًا ثم اطرح.
• تقريب ناتج وسيط ثم استخدامه في جزء لاحق.
• إغفال الزاوية الثانية في الحالة الملتبسة أو ذكرها حين لا يمكن أن يوجد المثلث.
• كتابة الزوايا لثلاثة أرقام معنوية بدل منزلة عشرية واحدة كما يطلب كامبريدج.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

ارسم المثلث وسمِّه في كل مرة، وحدد المعلوم والمطلوب، فهذه الخطوة تخبرك غالبًا بالقانون المناسب. وفي المسائل متعددة الخطوات كالاتجاهات والأشكال ثلاثية الأبعاد قسّم الشكل إلى مثلثات منفصلة وحلها واحدًا تلو الآخر. ويطلب كامبريدج الإجابات غير الدقيقة لثلاثة أرقام معنوية والزوايا لمنزلة عشرية واحدة.

كثير من الطلاب يعرفون القوانين لكنهم لا يعرفون أيها يستخدمون. في الدرس الفردي يطلب المدرس من الطالب أن يقول بصوت مسموع ما لديه وما يحتاجه قبل الكتابة، ثم يعطيه مجموعات مختلطة من المثلثات القائمة وغير القائمة.

اختبر نفسك

• مثلث قائم وتره ١٠ سم وفيه زاوية ٣٥ درجة. جد الضلع المجاور لها. (الجواب: ٨٫١٩ سم)
• مثلث أضلاعه ٥ و٦ و٧ سم. جد أكبر زواياه. (الجواب: ٧٨٫٥ درجة)
• جد مساحة مثلث فيه ضلعان ٥ و٨ سم والزاوية بينهما ٣٠ درجة. (الجواب: ١٠ سم مربع)
• من قمة مبنى ارتفاعه ١٢ م زاوية انخفاض سيارة ٢٥ درجة. كم تبعد السيارة عن قاعدة المبنى؟ (الجواب: ٢٥٫٧ م)
• حلّ 2cos x + 1 = 0 حيث 0° ≤ x ≤ 360°. (الجواب: ١٢٠ و٢٤٠ درجة)