باختصار
- كامبريدج 0580
- الأساسي C4.4، الموسّع E4.4
- إدكسل 4MA1
- التأسيسي 4.2F وG و4.11A وB، العالي 4.11A إلى C
- معاملات التشابه
- الطول k، والمساحة k^2، والحجم k^3
- إثبات التطابق
- غير مطلوب في كامبريدج 0580
ما يطلبه كل مستوى
| المنهج والمستوى | رقم البند | ما يمكن أن يُسأل عنه |
|---|---|---|
| كامبريدج 0580 الأساسي | C4.1 وC4.4 | مصطلحات التشابه والتطابق ومعامل التشابه، وحساب أطوال الأشكال المتشابهة |
| كامبريدج 0580 الموسّع | E4.4 | علاقات الطول والمساحة والحجم للأشكال والمجسمات المتشابهة، وإثبات تشابه مثلثين بمبررات هندسية، دون إثبات التطابق |
| إدكسل 4MA1 التأسيسي | 4.2F و4.2G و4.11A و4.11B | التطابق بمعنى الشكل والحجم نفسيهما، والأشكال المتشابهة أطوالها بالنسبة نفسها وزواياها متساوية، والخرائط ومقاييس الرسم |
| إدكسل 4MA1 العالي | 4.11A إلى 4.11C | نسبة المساحات مربع نسبة الأطوال، ونسبة الأحجام مكعبها، ومسائل تجمع بينهما |
الأفكار الأساسية
الشكلان متشابهان إذا كان أحدهما تكبيرًا للآخر. وفي المثلثات يكفي إثبات تساوي الزوايا، مثلًا بسبب خطوط متوازية (زوايا متناظرة أو متبادلة) أو زاوية مشتركة. والرسم المعتاد في الامتحان مثلث صغير داخل مثلث كبير بخط يوازي القاعدة.
معامل التشابه k نسبة طولين متناظرين: الكبير ÷ الصغير. سمِّ الرؤوس المتناظرة بالترتيب نفسه، وأعد رسم المثلثين منفصلين بالاتجاه نفسه.
معامل المساحة k^2 ومعامل الحجم k^3. وعكسيًا: من نسبة المساحات خذ الجذر التربيعي لتحصل على k، ومن نسبة الأحجام خذ الجذر التكعيبي، والسعة حجم أيضًا.
المثلثات المتطابقة متماثلة في الشكل والحجم، وتُعرف بثلاثة أضلاع متساوية، أو ضلعين والزاوية بينهما، أو زاويتين وضلع، أو زاوية قائمة ووتر وضلع. ولا يطلب أي من المنهجين براهين تطابق رسمية.
مثال محلول ١: أطوال في مثلثين متشابهين
- في المثلث ABC تقع D على AB وE على AC وDE يوازي BC، وAD = 4 وAB = 10 وDE = 6 سم. جد BC.
- المثلثان ADE وABC متشابهان: الزاوية A مشتركة، والزاويتان عند D وB متناظرتان.
- k = 10 ÷ 4 = 2.5.
- BC = 2.5 × 6 = 15 سم.
مثال محلول ٢: معاملا المساحة والحجم
- زجاجتان متشابهتان ارتفاعاهما ١٢ و١٨ سم، والكبرى تتسع لـ ٨١٠ مل.
- معامل الطول من الكبرى إلى الصغرى 2/3، ومعامل الحجم 8/27.
- سعة الصغرى 810 × 8/27 = 240 مل.
- وإذا كانت مساحة ملصق الكبرى ٤٥ سم مربع فملصق الصغرى 45 × 4/9 = 20 سم مربع.
مثال محلول ٣: من نسبة المساحات إلى الطول
- شكلان متشابهان مساحتاهما ٢٠ و٤٥ سم مربع، وضلع في الأصغر ٦ سم.
- نسبة المساحات ٢٫٢٥، ومعامل الطول sqrt(2.25) = 1.5.
- الضلع المقابل 6 × 1.5 = 9 سم.
أخطاء شائعة تضيّع الدرجات
- استخدام معامل الطول مباشرة للمساحات أو الأحجام.
- مطابقة الأضلاع الخطأ لأن المثلثين في اتجاهين مختلفين.
- استخدام AD وDB بدل AD وAB في النسبة.
- طرح الأطوال لإيجاد المعامل بدل القسمة.
- افتراض التشابه لأن الشكلين يبدوان متشابهين.
- نسيان أن السعة حجم فتتغير بمعامل k^3.
مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس
اكتب معامل التشابه في سطر واضح مع اتجاهه، وإذا جمع السؤال بين الأطوال والمساحات والأحجام فاكتب المعاملات الثلاثة في البداية. وفي أسئلة كامبريدج الموسّع «أثبت أن المثلثين متشابهان» اذكر كل زوج من الزوايا المتساوية مع مبرره. والتشابه يختبئ في موضوعات أخرى كالظلال والخرائط والمتجهات والمخروط الناقص.
يساعد المدرس في الدرس الفردي في مرحلة الاكتشاف: يفصل المثلثين على السبورة المشتركة ويعيد رسمهما جنبًا إلى جنب، وهي الخطوة التي يتجاوزها معظم الطلاب، ثم يدرّب الطالب على سؤال نفسه: هل هذا طول أم مساحة أم حجم؟
اختبر نفسك
- ضُربت الأطوال في ٣. ماذا يحدث للمساحات والأحجام؟ (الجواب: × ٩ و× ٢٧)
- مخروطان متشابهان حجماهما ٥٤ و٢٥٠ سم مكعب. جد نسبة ارتفاعيهما. (الجواب: ٣ : ٥)
- مقياس خريطة ١ : ٥٠٠٠٠. ما المسافة الحقيقية لـ ٤ سم على الخريطة؟ (الجواب: ٢ كم)
- مثلثان متشابهان ضلعاهما المتناظران ٨ و١٢ سم، ومساحة الأصغر ٣٢ سم مربع. جد مساحة الأكبر. (الجواب: ٧٢ سم مربع)
- اذكر حقيقتين عن الزوايا والأضلاع المتناظرة في الأشكال المتشابهة.
أسئلة شائعة
ما الفرق بين التشابه والتطابق؟
الأشكال المتطابقة متماثلة في الشكل والحجم، والمتشابهة لها الشكل والزوايا نفسها وقد تختلف في الحجم مع بقاء الأطوال بالنسبة نفسها.
هل أحتاج إلى إثبات تطابق المثلثات؟
ليس في كامبريدج 0580 الذي ينص على أن ذلك غير متوقع، ويطلب إدكسل 4MA1 فهم معنى التطابق. وقد يطلب كامبريدج الموسّع إثبات تشابه مثلثين.
هل معاملات المساحة والحجم في المستوى الأساسي أو التأسيسي؟
لا. هي في كامبريدج 0580 الموسّع (E4.4) وإدكسل 4MA1 العالي (4.11)، ويعمل الأساسي والتأسيسي على الأطوال.
كيف أجد معامل الطول من مساحة أو حجم؟
اقسم المساحتين وخذ الجذر التربيعي، أو اقسم الحجمين وخذ الجذر التكعيبي.
كم سعر درس الرياضيات في LiveTutor؟
١٥ $ لدرس فردي أونلاين مدته ٦٠ دقيقة لأي مستوى. الخطط من درس إلى خمسة دروس أسبوعيًا تُدفع شهريًا، والدرس الأول مجاني.
المصادر
التواريخ والأرقام في هذه الصفحة مأخوذة من هذه المصادر الرسمية والمنشورة. تأكد دائماً من المواعيد النهائية في الصفحة الرسمية قبل الاعتماد عليها.