نظريات الدائرة في رياضيات IGCSE: كل النظريات مع المبررات التي يقبلها المصحح

النظريات المطلوبة في كل مستوى

من بنود كامبريدج 0580 C4.7 وE4.7 وE4.8 وإدكسل 4MA1 من 4.6A إلى 4.6C.

الأفكار الأساسية

معظم أسئلة الدائرة تُحل باكتشاف شكل مخفي: نصفا قطر يكوّنان مثلثًا متساوي الساقين، والمماس مع نصف القطر يكوّنان زاوية قائمة، وأربع نقاط على الدائرة تكوّن رباعيًا دائريًا، والقطر يعني زاوية قائمة على المحيط.

الزاوية المركزية ضعف الزاوية المحيطية المرسومة على القوس نفسه، ونظرية نصف الدائرة حالة خاصة منها: القطر يصنع ١٨٠ درجة عند المركز، أي ٩٠ درجة عند المحيط.

الزوايا المحيطية المرسومة على الوتر نفسه في الجهة نفسها متساوية، والزاويتان المتقابلتان في الرباعي الدائري مجموعهما ١٨٠ درجة. ونظرية القطعة المتبادلة تقول إن الزاوية بين المماس والوتر تساوي الزاوية المحيطية في القطعة المقابلة.

ويختبر إدكسل العالي الأوتار المتقاطعة: إذا تقاطع الوتران AB وCD في P داخل الدائرة فإن AP × PB = CP × PD.

مثال محلول ١: الزاوية المركزية والمثلث متساوي الساقين

1. النقاط A وB وC على دائرة مركزها O، والزاوية ACB = 38°. جد AOB وOAB.
2. AOB = 76°، والمبرر: الزاوية المركزية ضعف الزاوية المحيطية.
3. OA = OB لأنهما نصفا قطر، فالمثلث AOB متساوي الساقين.
4. OAB = (180° - 76°)/2 = 52°، والمبرر: زاويتا القاعدة متساويتان ومجموع زوايا المثلث ١٨٠ درجة.

مثال محلول ٢: المماسان من نقطة خارجية

1. TA وTB مماسان من T لدائرة مركزها O، والزاوية ATB = 50°.
2. OAT = OBT = 90°، لأن المماس عمودي على نصف القطر عند نقطة التماس.
3. AOB = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°، لأن مجموع زوايا الرباعي ٣٦٠ درجة.
4. والزاوية ACB على القوس الأكبر = 65°، لأن الزاوية المركزية ضعف المحيطية.

مثال محلول ٣: الرباعي الدائري والقطعة المتبادلة

1. ABCD رباعي دائري، الزاوية A = (2x + 30)° والزاوية C = (3x - 10)°، فـ 5x + 20 = 180 وx = 32، أي A = 94° وC = 86°.
2. مماس يمس الدائرة عند A، والزاوية بينه وبين الوتر AB تساوي ٦٤ درجة.
3. الزاوية ACB في القطعة المتبادلة = 64°، والمبرر: نظرية القطعة المتبادلة.
4. إضافة لإدكسل العالي: AP = 6 وPB = 4 وCP = 3، إذن PD = 8.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• كتابة مبرر مبهم مثل «نظرية الدائرة» بدل الصياغة القياسية الكاملة.
• التنصيف بدل المضاعفة أو العكس، فالزاوية المركزية هي الأكبر.
• تطبيق قاعدة الرباعي الدائري على شكل ليست رؤوسه الأربعة على الدائرة.
• تطبيق نظرية نصف الدائرة على وتر لا يمر بالمركز.
• اختيار الزاوية الخطأ في نظرية القطعة المتبادلة.
• الاعتماد على دقة الرسم، فالرسوم ليست بمقياس رسم.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

الزاوية دون مبرر تحصل غالبًا على جزء من الدرجات فقط. اكتب كل خطوة: الزاوية وقيمتها والمبرر بالصياغة القياسية، وعيّن كل زاوية تجدها على الرسم. وإذا توقفت فابحث عن أنصاف الأقطار والأقطار والمماسات، فهي تكشف معظم البنية المخفية.

يساعد المدرس في الدرس الفردي على رؤية البنية، وهي مهارة بصرية: يلوّن المثلث متساوي الساقين أو الرباعي الدائري على السبورة المشتركة ثم يترك للطالب اكتشاف الخطوة التالية، ويدرّبه على صياغة المبررات حتى تصبح تلقائية.

اختبر نفسك

• زاوية محيطية قياسها ٤٧ درجة. ما الزاوية المركزية على القوس نفسه؟ (الجواب: ٩٤ درجة)
• AB قطر وC على الدائرة والزاوية CAB = 35°. جد CBA. (الجواب: ٥٥ درجة)
• زاويتان متقابلتان في رباعي دائري هما x و2x. جد x. (الجواب: ٦٠ درجة)
• مماسان من T يمسان الدائرة عند A وB، وTA = 9 سم. كم TB؟ (الجواب: ٩ سم)
• اكتب المبرر القياسي للزاوية بين المماس ونصف القطر.