باختصار
- كامبريدج 0580
- الأساسي C9.1 إلى C9.5، الموسّع E9.1 إلى E9.7
- إدكسل 4MA1
- التأسيسي 6.1 و6.2، العالي 6.1 و6.2
- الكثافة التكرارية
- التكرار ÷ طول الفئة
- التشتت
- المدى، والمدى الربيعي للموسّع والعالي
ما يطلبه كل مستوى
| المنهج والمستوى | رقم البند | ما يمكن أن يُسأل عنه |
|---|---|---|
| كامبريدج 0580 الأساسي | C9.1 إلى C9.5 | الوسط والوسيط والمنوال والمدى من قوائم أو جداول تكرار غير مبوبة، والأعمدة والدوائر والصور والساق والورقة، ومخططات الانتشار |
| كامبريدج 0580 الموسّع | E9.3 وE9.6 وE9.7 | الربيعات والمدى الربيعي، وتقدير الوسط والفئة المنوالية للبيانات المبوبة، ومنحنيات التكرار التراكمي والمئينات، والمدرجات بالكثافة التكرارية |
| إدكسل 4MA1 التأسيسي | 6.1 و6.2 | المخططات والجداول ذات المدخلين، والوسط والوسيط والمنوال والمدى، وتقدير الوسط والفئة المنوالية للبيانات المبوبة |
| إدكسل 4MA1 العالي | 6.1A إلى 6.1C و6.2A إلى 6.2D | المدرجات بفئات غير متساوية، والتكرار التراكمي، والوسيط والمدى الربيعي منه، والمدى الربيعي لبيانات منفصلة |
الأفكار الأساسية
الوسط والوسيط والمنوال تجيب عن أسئلة مختلفة: الوسط يستخدم كل القيم لكنه يتأثر بالقيم المتطرفة، والوسيط القيمة الوسطى ولا يتأثر بها، والمنوال الأكثر تكرارًا. والمدى يبين التشتت الكلي، والمدى الربيعي تشتت النصف الأوسط.
في البيانات المبوبة لا نعرف القيم الفعلية، فنستخدم مركز كل فئة، والنتيجة تقدير للوسط. والفئة المنوالية هي الأكثر تكرارًا.
منحنى التكرار التراكمي يرسم المجاميع المتراكمة مقابل الحدود العليا للفئات بمنحنى أملس، ونقرأ الوسيط عند نصف التكرار الكلي، والربيع الأدنى عند الربع، والأعلى عند ثلاثة الأرباع.
المدرج التكراري للبيانات المتصلة بفئات مختلفة الطول، ومحوره الرأسي الكثافة التكرارية، والتكرار = الكثافة × طول الفئة، أي مساحة العمود. وللمقارنة بين توزيعين قارن متوسطًا ومقياس تشتت في سياق السؤال.
مثال محلول ١: الوسط والوسيط والمنوال من جدول تكرار
- الدرجات: ١ (تكرار ٣)، ٢ (تكرار ٥)، ٣ (تكرار ٨)، ٤ (تكرار ٤).
- Σf = 20 وΣfx = 3 + 10 + 24 + 16 = 53.
- الوسط = 53 ÷ 20 = 2.65.
- الوسيط بين القيمتين العاشرة والحادية عشرة، والمجاميع المتراكمة ٣ و٨ و١٦، فالوسيط ٣، والمنوال ٣.
مثال محلول ٢: بيانات مبوبة ومدرج تكراري
- أزمنة الرحلة t بالدقائق: 0 < t ≤ 10 (٤ أشخاص)، 10 < t ≤ 20 (٩)، 20 < t ≤ 30 (٥)، 30 < t ≤ 50 (٢).
- المراكز ٥ و١٥ و٢٥ و٤٠، وΣfx = 360، وΣf = 20، فالوسط التقديري ١٨ دقيقة.
- الفئة المنوالية 10 < t ≤ 20.
- الكثافات: ٠٫٤ و٠٫٩ و٠٫٥ و٠٫١، وللتحقق مساحة العمود الأخير 0.1 × 20 = 2.
مثال محلول ٣: الربيعات والمدى الربيعي من قائمة
- البيانات مرتبة: 3, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 18, 20 (إحدى عشرة قيمة).
- الوسيط القيمة السادسة = ١١.
- الربيع الأدنى وسيط النصف الأدنى = ٧، والأعلى وسيط النصف الأعلى = ١٥.
- المدى الربيعي = ٨ والمدى = ١٧.
- وعند المقارنة بفصل وسيطه ١٣ ومداه الربيعي ٤ نكتب: الفصل الثاني أعلى في المتوسط ودرجاته أكثر اتساقًا.
أخطاء شائعة تضيّع الدرجات
- قسمة Σfx على عدد الفئات بدل التكرار الكلي.
- استخدام حدود الفئات أو التكرارات بدل المراكز.
- رسم التكرار التراكمي عند مراكز الفئات بدل الحدود العليا.
- رسم أعمدة المدرج بارتفاع يساوي التكرار مع فئات مختلفة الطول.
- إعطاء تكرار الفئة الوسطى بدل الوسيط.
- المقارنة بالأرقام فقط دون جملة في سياق السؤال.
مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس
أضف عمود fx وعمود المجموع المتراكم إلى أي جدول تكرار، فالمصحح يمنح عليهما درجات ويسرّعان الحساب. وعند القراءة من منحنى التكرار التراكمي ارسم الخطوط على الرسم ليرى المصحح قراءتك. وسؤال المقارنة يريد عبارتين: واحدة عن المتوسط وأخرى عن التشتت، في سياق السؤال.
في الدرس الفردي يعمل المدرس مع الطالب على المدرجات ومنحنيات التكرار التراكمي على شبكة مشتركة، فيتعلم أن المساحة تمثل التكرار وأن يقرأ الربيعات بدقة، ثم يتدرب على صياغة المقارنات التي تضيع فيها درجات كثيرة.
اختبر نفسك
- جد وسط 4, 7, 7, 9, 13. (الجواب: ٨)
- خمسة أعداد وسطها ٦، أربعة منها 4 و5 و7 و9. جد الخامس. (الجواب: ٥)
- فئة 20 < x ≤ 35 تكرارها ١٢. جد كثافتها التكرارية. (الجواب: ٠٫٨)
- عمود للفئة 10 < x ≤ 14 كثافته ٢٫٥. جد التكرار. (الجواب: ١٠)
- أي متوسط أنسب لبيانات فيها قيمة كبيرة جدًا؟ (الجواب: الوسيط لأنه لا يتأثر بها)
أسئلة شائعة
لماذا يكون وسط البيانات المبوبة تقديرًا فقط؟
لأننا لا نعرف القيم الفعلية داخل كل فئة، واستخدام المركز يفترض توزع القيم بالتساوي حوله، وهذا نادرًا ما يكون صحيحًا تمامًا.
هل المدرجات والتكرار التراكمي في المستوى الأساسي أو التأسيسي؟
لا. هي في كامبريدج 0580 الموسّع (E9.6 وE9.7) وإدكسل 4MA1 العالي (6.1). ويغطي الأساسي والتأسيسي الأعمدة والدوائر والمتوسطات الرئيسية.
كيف أجد الربيعات من منحنى التكرار التراكمي؟
جد ربع التكرار الكلي وثلاثة أرباعه على المحور الرأسي، واقرأ أفقيًا إلى المنحنى ثم رأسيًا إلى المحور الأفقي، والفرق بين القراءتين هو المدى الربيعي.
ماذا أكتب عند المقارنة بين مجموعتين؟
مقارنة لمتوسط وأخرى للتشتت، كل منهما بالأرقام وفي سياق السؤال كالأطوال أو الدرجات.
كم سعر درس الرياضيات في LiveTutor؟
١٥ $ لدرس فردي أونلاين مدته ٦٠ دقيقة لأي مستوى. الخطط من درس إلى خمسة دروس أسبوعيًا تُدفع شهريًا، والدرس الأول تجربة مجانية.
المصادر
التواريخ والأرقام في هذه الصفحة مأخوذة من هذه المصادر الرسمية والمنشورة. تأكد دائماً من المواعيد النهائية في الصفحة الرسمية قبل الاعتماد عليها.