المتجهات في رياضيات IGCSE: المتجهات العمودية والمقدار وهندسة المتجهات

ما يطلبه كل مستوى

الأفكار الأساسية

يُكتب المتجه العمودي بحركة x في الأعلى وحركة y في الأسفل، وسنكتبه هنا (x, y). نجمع المتجهات بجمع المكونات المتناظرة، ونضرب في عدد بضرب المكونين. فإذا كان a = (3, -2) وb = (-1, 4) فإن a + b = (2, 2) و3b = (-3, 12).

المقدار هو طول السهم، وبفيثاغورس |(x, y)| = sqrt(x^2 + y^2)، فمقدار (5, -3) هو sqrt(34) = 5.83.

في أسئلة الهندسة تُعطى متجهات مثل OA = a وOB = b ويُطلب غيرها. جد مسارًا على متجهات معلومة من البداية إلى النهاية، والسير عكس السهم يغيّر الإشارة: AO = -a، إذن AB = b - a. ولنقطة المنتصف M نحصل على OM = 1/2(a + b).

يتوازى المتجهان إذا كان أحدهما مضاعفًا للآخر، فـ 4a + 2b يوازي 2a + b لأنه ضعفه. وإذا توازى PQ وQR واشتركا في Q فإن P وQ وR على استقامة واحدة.

مثال محلول ١: عمليات على المتجهات العمودية

1. a = (3, -2) وb = (-1, 4). جد 2a - 3b ومقداره.
2. 2a = (6, -4) و3b = (-3, 12).
3. 2a - 3b = (9, -16).
4. المقدار sqrt(81 + 256) = sqrt(337) = 18.4 لثلاثة أرقام معنوية.

مثال محلول ٢: نقطة تقسم قطعة بنسبة

1. OA = a وOB = b، والنقطة P على AB بحيث AP : PB = 1 : 2. جد OP.
2. AB = b - a، وAP ثلث AB لأن النسبة تقسم القطعة ثلاثة أجزاء متساوية.
3. OP = a + 1/3(b - a) = 1/3(2a + b).
4. للتحقق: إذا كان a = (3, 0) وb = (0, 3) فإن P = (2, 1)، والصيغة تعطي النتيجة نفسها.

مثال محلول ٣: إثبات أن النقاط على استقامة واحدة

1. Q نقطة فيها OQ = 4a + 2b. أثبت أن O وP وQ على استقامة واحدة.
2. OP = 1/3(2a + b) وOQ = 2(2a + b).
3. إذن OQ = 6 × OP.
4. OQ مضاعف لـ OP فهما متوازيان، ويشتركان في النقطة O، إذن النقاط الثلاث على استقامة واحدة. اذكر الأمرين معًا في الخاتمة.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• نسيان الإشارة عند السير عكس السهم: AO = -a.
• كتابة AB = a - b بدل b - a.
• استخدام كسر خاطئ للنسبة: AP : PB = 1 : 2 تعني أن AP ثلث AB لا نصفه.
• استنتاج الاستقامة من التوازي دون ذكر النقطة المشتركة.
• الخطأ في تربيع المكون السالب عند حساب المقدار.
• عدم تبسيط العبارة النهائية حين يُطلب أبسط صورة.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

هندسة المتجهات تأتي عادةً سؤالًا متعدد الأجزاء قرب نهاية الورقة، وهي من الموضوعات التي تحسم الدرجات العليا. اكتب المسار قبل الجبر، مثل OP = OA + AP، فهذا السطر يُظهر طريقتك، وعيّن كل متجه جديد على الرسم بسهم. وأسئلة «أثبت أن» تنتهي بجملة تذكر ما أثبته بالضبط.

يجد كثير من الطلاب المتجهات مجردة حتى يروا أن الحروف مجرد أسهم على الرسم. في الدرس الفردي يرسم المدرس المسارات على السبورة المشتركة كما يصفها الطالب ثم يقلل هذا الدعم تدريجيًا، منتقلًا من العمليات إلى مسائل النسبة ثم براهين الاستقامة بأسئلة من امتحانات منهج الطالب.

اختبر نفسك

• احسب (2, 5) + (3, -1). (الجواب: (5, 4))
• احسب 3 × (-2, 1). (الجواب: (-6, 3))
• جد مقدار (6, 8). (الجواب: ١٠)
• OA = a وOB = b وM منتصف AB. جد OM. (الجواب: 1/2(a + b))
• هل 6a - 9b يوازي 2a - 3b؟ علّل. (الجواب: نعم، فهو ثلاثة أمثاله)