المتباينات والمناطق في رياضيات IGCSE: الحل وخط الأعداد والتظليل

ما يطلبه كل مستوى

الأفكار الأساسية

المتباينة تصف مجموعة من القيم لا قيمة واحدة. x > 3 تعني كل عدد أكبر من ٣ دون ٣ نفسه، أما x ≤ 3 فتشمل ٣. والمتباينة المزدوجة -1 ≤ x < 3 تعني أن الشرطين متحققان معًا.

يمكنك جمع العدد نفسه أو طرحه من الطرفين، والضرب أو القسمة على عدد موجب دون تغيير الإشارة. أما الضرب أو القسمة على عدد سالب فيعكس ترتيب الأعداد، فتنقلب الإشارة: من -x > 2 نحصل على x < -2.

على المستوى الإحداثي يقسم الخط y = 2x + 1 المستوى قسمين، فكل نقطة فوقه تحقق y > 2x + 1. ولتحديد الجهة المطلوبة جرّب نقطة ليست على الخط، وغالبًا (0, 0).

في المتباينة التربيعية (إدكسل العالي) جد جذري المعادلة، وارسم المنحنى على شكل حرف U، ثم اقرأ أين يكون فوق محور x أو تحته.

مثال محلول ١: حلّ -3 ≤ 3x - 2 < 7 واذكر الحلول الصحيحة

1. أضف ٢ إلى الأجزاء الثلاثة: -1 ≤ 3x < 9.
2. اقسم على ٣، وهو موجب فلا تنقلب الإشارة: -1/3 ≤ x < 3.
3. الأعداد الصحيحة في هذا المدى هي ٠ و١ و٢.
4. على خط الأعداد: دائرة مظللة عند -1/3 ودائرة مفرغة عند ٣.

مثال محلول ٢: حلّ 7 - x ≥ 5

1. اطرح ٧ من الطرفين: -x ≥ -2.
2. اقسم على ١- واقلب الإشارة: x ≤ 2.
3. تحقق: x = 0 يعطي ٧ ≥ ٥ وهذا صحيح، وx = 3 يعطي ٤ وهو ليس ≥ ٥.
4. طريقة أكثر أمانًا: أضف x إلى الطرفين فتحصل على 7 ≥ 5 + x، ثم 2 ≥ x.

مثال محلول ٣ (إدكسل العالي): حلّ x^2 + 3x + 2 > 0

1. حل المعادلة: (x + 1)(x + 2) = 0، إذن x = -1 أو x = -2.
2. المنحنى على شكل U ويقطع المحور عند ٢- و١-.
3. نريد الجزء فوق المحور: يسار ٢- ويمين ١-.
4. الجواب: x < -2 أو x > -1. وللتحقق، x = -1.5 تعطي -0.25 فهي مستبعدة بحق.

مثال محلول ٤: منطقة على الشبكة

1. حدد المنطقة التي تحققها x ≥ 0 وy ≥ 1 وx + y ≤ 5.
2. ارسم الحدود: محور y، والخط y = 1، والخط x + y = 5 المار بالنقطتين (0, 5) و(5, 0)، وكلها خطوط متصلة لأن المتباينات غير تامة.
3. جرّب (0, 0) في x + y ≤ 5 فتجدها صحيحة، فالجهة المطلوبة نحو نقطة الأصل.
4. المنطقة مثلث رؤوسه (0, 1) و(0, 5) و(4, 1). اتبع دائمًا تعليمات السؤال في التظليل.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• نسيان قلب الإشارة بعد القسمة على عدد سالب.
• كتابة الجواب معادلةً مثل x = 2 بدل متباينة.
• استخدام الدائرة الخطأ على خط الأعداد.
• تظليل الجهة الخطأ من الخط لعدم تجربة نقطة اختبار.
• في المتباينات التربيعية: دمج فترتين منفصلتين في فترة واحدة.
• ذكر أعداد صحيحة مستبعدة، مثل ٣ حين تكون المتباينة x < 3.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

اقرأ هل يطلب السؤال مجموعة الحل أم القيم الصحيحة أم منطقة، فكلٌّ منها يُصحح بطريقة مختلفة. وفي أسئلة المناطق في كامبريدج تُظلل المنطقة غير المطلوبة افتراضيًا. وحين يعطيك السؤال رسمًا ويطلب المتباينات، جد معادلة كل خط أولًا ثم استخدم نقطة اختبار لتحديد الإشارة.

في الدرس الفردي يشرح المدرس سبب انقلاب الإشارة على خط الأعداد بدل الحفظ، ثم يرسم المناطق مع الطالب خطًا خطًا على السبورة المشتركة، وهي الخطوة التي يخطئ فيها معظم الطلاب ويسهل تصحيحها مباشرة.

اختبر نفسك

• حلّ 3x < 2x + 4. (الجواب: x < 4)
• حلّ 3 < x + 2 ≤ 5. (الجواب: 1 < x ≤ 3)
• حلّ 4x^2 > 25. (الجواب: x < -2.5 أو x > 2.5)
• حلّ x^2 ≤ 25. (الجواب: -5 ≤ x ≤ 5)
• اكتب المتباينات الثلاث التي تحدد المثلث الذي رؤوسه (0, 0) و(4, 0) و(0, 4). (الجواب: x ≥ 0 وy ≥ 0 وx + y ≤ 4)