باختصار
- كامبريدج 0580
- الأساسي C3.1 إلى C3.6، الموسّع E3.1 إلى E3.7
- إدكسل 4MA1
- التأسيسي 3.3، العالي 3.3F و3.3G
- الميل
- (y2 - y1)/(x2 - x1)
- التعامد
- m1 × m2 = -1
ما يطلبه كل مستوى
| المنهج والمستوى | رقم البند | ما يمكن أن يُسأل عنه |
|---|---|---|
| كامبريدج 0580 الأساسي | C3.1 إلى C3.6 | رسم الخطوط من y = mx + c، والميل من الشبكة فقط، والميل والمقطع من المعادلة، والخطوط x = k، والخطوط المتوازية |
| كامبريدج 0580 الموسّع | E3.1 إلى E3.7 | الميل من نقطتين، والطول ونقطة المنتصف، والصورة ax + by = c، والخطوط المتعامدة والمنصّف العمودي |
| إدكسل 4MA1 التأسيسي | 3.3B إلى 3.3I | الإحداثيات ونقطة المنتصف والميل وy = mx + c ورسم الخطوط بما فيها ax + by = c |
| إدكسل 4MA1 العالي | 3.3F و3.3G | الميل من نقطتين، ومعادلة خط يمر بنقطتين، والخطوط المتوازية والمتعامدة |
الأفكار الأساسية
الميل مقياس للانحدار: الارتفاع مقسومًا على المسافة الأفقية. الخط الصاعد من اليسار إلى اليمين ميله موجب، والهابط ميله سالب، والأفقي ميله صفر ومعادلته y = k، والرأسي معادلته x = k.
لقراءة m وc من معادلة يجب أن تكون على الصورة y = mx + c، فأعد الترتيب أولًا: 5x + 4y = 8 تصبح y = -1.25x + 2، فالميل ١٫٢٥- والمقطع ٢.
لإيجاد معادلة خط يمر بنقطتين احسب الميل ثم عوّض بإحدى النقطتين في y = mx + c لإيجاد c. للخطوط المتوازية الميل نفسه، وللخط العمودي نأخذ المقلوب السالب: إذا كان m = 2 فالميل العمودي -1/2.
نقطة المنتصف هي متوسط الإحداثيات، والطول يأتي من فيثاغورس: sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2). والمنصّف العمودي يمر بنقطة المنتصف عموديًا على القطعة.
مثال محلول ١: الخط المار بالنقطتين (1, 7) و(2, 9) وخط عمودي عليه
- الميل: (9 - 7)/(2 - 1) = 2.
- نعوّض (1, 7): 7 = 2 + c، إذن c = 5 والخط y = 2x + 5.
- الخط العمودي ميله -1/2، وإذا مر بالنقطة (3, 7) فإن 7 = -1.5 + c، إذن c = 8.5.
- الجواب: y = -0.5x + 8.5 أو x + 2y = 17، وللتحقق 3 + 14 = 17.
مثال محلول ٢ (كامبريدج الموسّع): المنصّف العمودي للقطعة بين (-3, 8) و(9, -2)
- نقطة المنتصف: (3, 3).
- ميل القطعة: -10/12 = -5/6.
- الميل العمودي هو المقلوب السالب، أي ١٫٢.
- عبر (3, 3): c = -0.6، فالمنصّف y = 1.2x - 0.6 أو 6x - 5y = 3.
- وطول القطعة sqrt(244) = 15.6 لثلاثة أرقام معنوية.
مثال محلول ٣: خط موازٍ يمر بنقطة
- جد معادلة الخط الموازي لـ y = 4x - 1 والمار بالنقطة (1, -3).
- التوازي يعني الميل نفسه، فالخط y = 4x + c.
- نعوّض: -3 = 4 + c، إذن c = -7.
- الجواب: y = 4x - 7.
أخطاء شائعة تضيّع الدرجات
- طرح الإحداثيات بترتيب مختلف في البسط والمقام فتنقلب إشارة الميل.
- قراءة الميل مباشرة من ax + by = c دون إعادة ترتيب.
- أخذ المقلوب دون تغيير الإشارة في الخطوط المتعامدة، أو العكس.
- عدّ المربعات على الشبكة دون الانتباه إلى مقياس كل محور.
- ترك المعادلة بصورة غير مبسطة حين يطلب السؤال y = mx + c.
- الخلط بين x = 3 وهو خط رأسي وy = 3 وهو خط أفقي.
مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس
أسئلة الهندسة الإحداثية تتسلسل غالبًا: نقطة المنتصف ثم الميل ثم الخط العمودي ثم نقطة التقاطع مع محور. اكتب كل نتيجة بوضوح لأن الأجزاء اللاحقة تعتمد عليها، والمصحح يتابع عملك. وارسم مخططًا سريعًا حتى لو لم يُعطَ، فهو يكشف فورًا إن كانت إشارة الميل منطقية.
في الدرس الفردي يرسم المدرس الخط على السبورة المشتركة أثناء حساب الطالب، فيتضح الربط بين الأعداد والشكل. وكثير من الطلاب يفهمون لماذا يساوي حاصل ضرب الميلين المتعامدين ١- حين يرسمون مثلثين قائمين بدل حفظ القاعدة.
اختبر نفسك
- اكتب الميل والمقطع للخط y = 3x + 5. (الجواب: ٣ و٥)
- جد ميل الخط العمودي على 2y = 3x + 1. (الجواب: -2/3)
- جد نقطة منتصف (2, 5) و(8, -1). (الجواب: (5, 2))
- جد طول القطعة من (1, 2) إلى (4, 6). (الجواب: ٥)
- اكتب معادلة الخط الذي ميله ٦ ويمر بالنقطة (0, 2). (الجواب: y = 6x + 2)
أسئلة شائعة
كيف أجد الميل من الرسم؟
اختر نقطتين يمر بهما الخط عند تقاطعات الشبكة وبعيدتين قدر الإمكان، واقسم التغير في y على التغير في x مقروءًا من المحاور لا بعدّ المربعات، لأن المقياس قد يختلف.
ما ميل الخطين المتعامدين؟
حاصل ضربهما ١-: اقلب الميل وغيّر إشارته، فالميل ٢ يصبح -1/2. والتعامد من محتوى كامبريدج الموسّع وإدكسل العالي.
هل حساب الطول بين نقطتين مقرر؟
نعم في كامبريدج 0580 الموسّع (E3.4) باستخدام فيثاغورس. ويذكر إدكسل 4MA1 نقطة المنتصف في التأسيسي وفيثاغورس بشكل منفصل، فالطريقة نفسها تصلح.
ماذا يعني الميل السالب في رسم من الحياة الواقعية؟
يعني أن الكمية على محور y تتناقص كلما زادت x، مثل ماء يُصرف من خزان، ومقدار الميل هو معدل التغير.
كم تتقاضى LiveTutor لرياضيات IGCSE؟
١٥ $ لكل درس فردي أونلاين مدته ٦٠ دقيقة، وهو السعر نفسه لكل المواد والمستويات. الدرس الأول تجربة مجانية، ويمكنك اختيار من درس إلى خمسة دروس أسبوعيًا تُدفع شهريًا.
المصادر
التواريخ والأرقام في هذه الصفحة مأخوذة من هذه المصادر الرسمية والمنشورة. تأكد دائماً من المواعيد النهائية في الصفحة الرسمية قبل الاعتماد عليها.