الكسور الجبرية في رياضيات IGCSE: التبسيط والجمع والحل

موقع الكسور الجبرية في كل منهج

الأفكار الأساسية

الكسر الجبري كسرٌ فيه عبارة جبرية في البسط أو المقام أو كليهما، مثل (x + 1)/(x - 3). وكل ما تعرفه عن تبسيط ٦/٨ إلى ٣/٤ ينطبق هنا: نبسّط بقسمة البسط والمقام على عامل مشترك، ونجمع بتوحيد المقامات، ونقسم بالضرب في المقلوب.

القاعدة الأهم أنك تختصر العوامل فقط ولا تختصر الحدود. في (x + 6)/6 العدد ٦ في البسط حدّ مرتبط بإشارة جمع، فلا يُختصر شيء. أما في 6(x + 1)/6 فالعدد ٦ عامل يضرب البسط كله، فيُختصر ويبقى x + 1. لذلك يبدأ كل سؤال تقريبًا بالتحليل: إخراج العامل المشترك، والفرق بين مربعين a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)، وتحليل العبارات التربيعية مثل x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).

عند الجمع أو الطرح نستخدم المقام المشترك الأصغر، وهو عادةً حاصل ضرب المقامين الخطيين المختلفين. وعند حل معادلة فيها كسور نضرب كل حد في كل المقامات لنتخلص منها، ثم نحل المعادلة الناتجة، ونتأكد أن أي حل لا يجعل مقامًا يساوي صفرًا.

مثال محلول ١: بسّط (x^2 - 2x)/(x^2 - 5x + 6)

1. حلّل البسط بإخراج العامل المشترك x فيصبح x(x - 2).
2. حلّل المقام: نبحث عن عددين حاصل ضربهما ٦ ومجموعهما ٥-، وهما ٢- و٣-، فيصبح (x - 2)(x - 3).
3. اكتب الكسر على الصورة x(x - 2) / ((x - 2)(x - 3)).
4. اختصر العامل المشترك (x - 2) من البسط والمقام.
5. الجواب: x/(x - 3). للتحقق نعوّض x = 5 في الأصل فنحصل على 15/6 = 2.5، وفي الجواب 5/2 = 2.5، فالنتيجتان متطابقتان.

مثال محلول ٢: اكتب (3x + 1)/(x + 2) - (x - 2)/(x - 1) ككسر واحد

1. المقام المشترك هو (x + 2)(x - 1).
2. يصبح البسط (3x + 1)(x - 1) - (x - 2)(x + 2).
3. نفك القوس الأول: 3x^2 - 2x - 1، والثاني: x^2 - 4، ونبقيه داخل قوس لأنه مطروح.
4. نطرح: 3x^2 - 2x - 1 - x^2 + 4 = 2x^2 - 2x + 3.
5. الجواب: (2x^2 - 2x + 3)/((x + 2)(x - 1)). للتحقق نعوّض x = 2 فنحصل على 7/4 في الطرفين.

مثال محلول ٣: حلّ 2/(x + 2) + 3/(2x - 1) = 1

1. اضرب كل حد في (x + 2)(2x - 1) فتحصل على 2(2x - 1) + 3(x + 2) = (x + 2)(2x - 1).
2. بفك الأقواس: 7x + 4 = 2x^2 + 3x - 2.
3. انقل الحدود إلى طرف واحد واقسم على ٢: x^2 - 2x - 3 = 0.
4. حلّل: (x - 3)(x + 1) = 0، إذن x = 3 أو x = -1.
5. تحقق من الحلين بالتعويض في المعادلة الأصلية: كلاهما يعطي ١، ولا يجعل أيٌّ منهما مقامًا صفرًا.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• اختصار الحدود: الكسر (x + 3)/(x + 5) لا يساوي ٣/٥، فالعوامل الكاملة وحدها تُختصر.
• نسيان إشارة السالب عند طرح بسط كامل، فالطرح يغيّر إشارة كل حد داخل القوس.
• فك المقام مبكرًا. اتركه محللًا، فهذا مقبول ويسهّل رؤية ما يمكن اختصاره.
• نسيان ضرب الطرف الأيمن عند التخلص من الكسور، ففي المثال ٣ يصبح العدد ١ هو (x + 2)(2x - 1).
• الخطأ في تحليل عبارة معاملها الأول ليس ١، مثل كتابة 2x^2 + 3x على أنها 2x(x + 3) بدل x(2x + 3).
• عدم تبسيط الجواب النهائي حين يطلب السؤال أبسط صورة.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

تحمل أسئلة الكسور الجبرية عادةً من ٣ إلى ٥ درجات، وكثيرًا ما تكون جزءًا من سؤال أطول، كمعادلة كسرية تتحول إلى معادلة تربيعية. اكتب كل خطوة، فدرجات الطريقة تُمنح على المقام المشترك الصحيح والبسط المفكوك الصحيح حتى لو أخطأت لاحقًا. في الورقة الثانية من كامبريدج لا توجد آلة حاسبة، أما أوراق إدكسل فتسمح بها، لكنها لا تساعد في الجبر نفسه.

التعويض بقيمة بسيطة مثل x = 2 في السؤال وفي جوابك أسرع طريقة للتحقق. في الدرس الفردي يتابع المدرس عمل الطالب سطرًا بسطر على السبورة المشتركة، فيحدد الخطوة التي ينهار عندها الحل، وهي غالبًا التحليل أو الإشارات، ثم يعطيه تمارين مركزة عليها حتى تصبح تلقائية، يليها أسئلة من امتحانات سابقة.

اختبر نفسك

• بسّط (2x^2 + 3x)/(4x^2 - 9). (الجواب: x/(2x - 3))
• اكتب 1/(x - 2) + (x + 1)/(x - 3) ككسر واحد. (الجواب: (x^2 - 5)/((x - 2)(x - 3)))
• بسّط (3a/4) ÷ (9a/10). (الجواب: 5/6)
• حلّ x/(2x + 1) = 4. (الجواب: x = -4/7)
• اشرح في جملة واحدة لماذا لا يساوي (x + 6)/6 العبارة x + 1.