رسم الدوال في رياضيات IGCSE: التربيعية والتكعيبية والمقلوب والأسية

ما يطلبه كل مستوى

الأفكار الأساسية

عند الرسم احسب كل قيمة y بعناية، وعيّن النقاط بعلامات صغيرة، وصِلها بمنحنى أملس يمر بكل النقاط لا بقطع مستقيمة. ونقطة رأس المنحنى التربيعي تقع غالبًا بين نقطتين محسوبتين، فلا تجعل القاع مسطحًا.

الأشكال المطلوبة: y = x^2 على شكل U، وy = -x^2 على شكل n، وy = x^3 تصعد من أسفل اليسار إلى أعلى اليمين. وy = 1/x فرعان في ربعين متقابلين لا يلمسان المحورين، وy = a/x + b ينقل الخط المقارب الأفقي إلى y = b، وy = 2^x يمر بالنقطة (0, 1).

للحل البياني: جذور f(x) = 0 هي نقاط قطع المنحنى لمحور x. ولحل معادلة أخرى بالمنحنى نفسه، أعد ترتيبها على صورة «المنحنى = خط مستقيم»، وارسم الخط، واقرأ إحداثيات x لنقاط التقاطع.

التحويلات (إدكسل العالي): y = f(x) + a إزاحة لأعلى بمقدار a، وy = f(x + a) إزاحة لليسار بمقدار a، وy = af(x) تمدد رأسي. ومنهج كامبريدج 0580 لا يتضمن هذه التحويلات.

مثال محلول ١: المنحنى y = x^2 - 2x - 3 حيث -2 ≤ x ≤ 4

1. جدول القيم: x = -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 تعطي y = 5, 0, -3, -4, -3, 0, 5.
2. الجذران حيث y = 0: x = -1 وx = 3، ويطابقان التحليل (x + 1)(x - 3).
3. محور التماثل x = 1، ونقطة القيمة الصغرى (1, -4).
4. وإكمال المربع يؤكد ذلك: (x - 1)^2 - 4.

مثال محلول ٢: اختيار الخط المطلوب رسمه

1. باستخدام منحنى y = x^2 - 2x - 3، ما الخط الذي ترسمه لحل x^2 - 3x - 1 = 0؟
2. أعد الترتيب ليطابق الطرف الأيسر المنحنى: x^2 - 2x - 3 = x - 2.
3. تحقق: x^2 - 2x - 3 - (x - 2) = x^2 - 3x - 1.
4. ارسم y = x - 2، والحلان تقريبًا ٠٫٣٠- و٣٫٣٠.

مثال محلول ٣: ارسم تقريبيًا y = 3/x + 2

1. ابدأ بشكل y = 3/x: فرعان في الربعين الأول والثالث.
2. إضافة ٢ ترفع المنحنى، فالخطان المقاربان x = 0 وy = 2.
3. نقطة القطع مع محور x: 3/x = -2، إذن x = -1.5.
4. اكتب معادلتي الخطين المقاربين على الرسم وعيّن النقطة (-1.5, 0).

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• الخطأ في حساب -x^2 لقيم x السالبة: إذا كانت x = -3 فإن -x^2 = -9.
• توصيل النقاط بالمسطرة في منحنى، أو رسم قاع مسطح.
• رسم منحنى المقلوب مارًا بنقطة الأصل أو توصيل فرعيه.
• قراءة التقاطعات بدقة غير كافية.
• اختيار الخط الخطأ لعدم التحقق من إعادة الترتيب.
• إغفال كتابة معادلات الخطوط المقاربة على الرسم التقريبي.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

أسئلة الرسم طويلة ومعظم درجاتها على الطريقة، فهي من أضمن الدرجات. استخدم قلم رصاص حادًا ومدّ المنحنى على كامل المدى المعطى. وفي الرسم التقريبي يبحث المصحح عن الشكل الصحيح في الأرباع الصحيحة مع المقاطع ونقاط الرأس أو الخطوط المقاربة. ولتقدير ميل منحنى ارسم مماسًا يلمس المنحنى في نقطة واحدة.

هذا الموضوع يحتاج إلى قلم وشبكة، وهذا ما توفره السبورة المشتركة في الدرس الأونلاين، فيرى المدرس الطالب وهو يرسم ويصحح الأسلوب فورًا، ثم يركز على خطوات التفكير الأصعب مثل اختيار الخط المطلوب رسمه.

اختبر نفسك

• للدالة y = x^3 + x - 4 جد y عندما x = 2 وعندما x = -1. (الجواب: ٦ و٦-)
• اذكر الخطين المقاربين لـ y = 3/x + 2. (الجواب: x = 0 وy = 2)
• جد نقطة رأس y = x^2 + 4x + 1. (الجواب: (-2, -3))
• ما الخط الذي ترسمه على y = x^2 + 3x - 2 لحل x^2 + x - 3 = 0؟ (الجواب: y = 2x + 1)
• أين يقطع y = 2^x محور y؟ (الجواب: (0, 1))