باختصار
- كامبريدج 0580
- الأساسي C2.7، الموسّع E2.7
- إدكسل 4MA1
- التأسيسي والعالي 3.1A إلى C
- القاعدة الخطية
- الحد النوني = dn + (الحد الأول - d)
- صيغة المجموع
- Sn = n/2[2a + (n - 1)d] في ورقة إدكسل العالي
ما يطلبه كل مستوى
| المنهج والمستوى | رقم البند | ما يمكن أن يُسأل عنه |
|---|---|---|
| كامبريدج 0580 الأساسي | C2.7 | إكمال المتتاليات، وقاعدة الانتقال، والحد النوني للخطية والتربيعية البسيطة (مثل 2, 5, 10, 17) والتكعيبية البسيطة |
| كامبريدج 0580 الموسّع | E2.7 | المتتاليات الخطية والتربيعية والتكعيبية والأسية وتركيبات بسيطة منها، ورموز مثل Tn |
| إدكسل 4MA1 التأسيسي | 3.1A إلى 3.1C | قواعد الانتقال والموقع، والحد النوني للمتتالية الحسابية مثل 2n - 1 |
| إدكسل 4MA1 العالي | 3.1A إلى 3.1C | الحد الأول a والفرق المشترك d، والحد النوني a + (n - 1)d، ومجموع أول n حدًا من متسلسلة حسابية |
الأفكار الأساسية
ابدأ كل سؤال بكتابة الفروق بين الحدود المتتالية. إذا تساوت الفروق الأولى فالمتتالية خطية، وإذا تغيرت الفروق الأولى وثبتت الثانية فهي تربيعية، وإذا ضُربت الحدود في العدد نفسه كل مرة فهي هندسية (أسية)، وقد يطلب كامبريدج الموسّع صيغة مثل 3 × 2^(n - 1).
في المتتالية الخطية ذات الفرق d يكون الحد النوني dn + c، ونجد c بالمقارنة مع الحد الأول: c = الحد الأول - d. ويكتب إدكسل العالي الفكرة نفسها a + (n - 1)d، وبالفك نحصل على النتيجة ذاتها.
في المتتالية التربيعية نصف الفرق الثاني هو معامل n^2. اطرح an^2 من كل حد، فيبقى متتالية خطية تعرف كيف تجد حدها النوني.
ولتعرف هل عدد ما حدٌّ في المتتالية، ساوِ الحد النوني به وحلّ: إذا كانت n عددًا صحيحًا موجبًا فهو حد، وإلا فلا.
مثال محلول ١: الحد النوني لـ 5, 9, 13, 17 وهل ١٥٠ حدٌّ فيها؟
- الفروق كلها ٤، فالحد النوني 4n + c.
- عندما n = 1 يكون الحد ٥، إذن c = 1 والحد النوني 4n + 1.
- تحقق: n = 4 تعطي ١٧.
- 4n + 1 = 150 تعطي n = 37.25، وهو ليس عددًا صحيحًا، فـ ١٥٠ ليس حدًّا. أما ١٠١ فهو الحد الخامس والعشرون.
مثال محلول ٢: الحد النوني للمتتالية التربيعية 3, 10, 21, 36, 55
- الفروق الأولى: 7, 11, 15, 19، والثانية ثابتة وتساوي ٤.
- نصف الفرق الثاني ٢، فيبدأ الحد النوني بـ 2n^2.
- نطرح 2n^2 (أي 2, 8, 18, 32, 50) فيبقى 1, 2, 3, 4, 5، أي n.
- الحد النوني 2n^2 + n، وللتحقق n = 3 تعطي ٢١.
مثال محلول ٣ (إدكسل العالي): المتسلسلة الحسابية
- جد مجموع أول ٥٠ حدًا من 4 + 7 + 10 + 13 + ...
- a = 4 وd = 3 وn = 50.
- Sn = 25[8 + 147] = 3875.
- تحقق: الحد الخمسون 151، والمجموع 50 × (4 + 151)/2 = 3875.
- وإذا كان الحد الثاني ٧ والخامس ١٩ فإن 3d = 12، إذن d = 4 وa = 3.
أخطاء شائعة تضيّع الدرجات
- إعطاء قاعدة الانتقال (أضف ٤) حين يُطلب الحد النوني.
- كتابة n + 4 بدل 4n + 1 لمتتالية تزيد بمقدار ٤.
- استخدام الفرق الثاني كاملًا معاملًا لـ n^2 بدل نصفه.
- نسيان أن المتتالية المتناقصة لها d سالب: 7, 4, 1, -2 حدها النوني -3n + 10.
- اعتبار العدد حدًّا حين تكون n عشرية أو سالبة.
- الخلط بين a + (n - 1)d وa + nd.
مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس
أسئلة المتتاليات تأتي عادةً في بداية الورقة وتُحل بسرعة، فهي درجات سهلة. اكتب الفروق دائمًا لأنها تحمل درجة، واختبر حدك النوني على حدين معطيين قبل أن تنتقل. وقد يجمع كامبريدج الموسّع بين أنواع مختلفة مثل n^2 + 2^n، فقارن الحدود بالمتتاليات المألوفة كالمربعات والمكعبات وقوى العدد ٢.
في الدرس الفردي يطلب المدرس غالبًا من الطالب أن يشرح لماذا يأتي الفرق معاملًا لـ n في المتتالية الخطية بدل حفظ ذلك، فمن يفهم هذا الربط يجد الطريقة التربيعية وصيغة المجموع أسهل بكثير.
اختبر نفسك
- جد الحد النوني لـ 7, 4, 1, -2. (الجواب: 10 - 3n)
- جد الحد النوني لـ 6, 15, 28, 45. (الجواب: 2n^2 + 3n + 1)
- جد الحد النوني لـ 2, 9, 28, 65. (الجواب: n^3 + 1)
- جد صيغة الحد النوني لـ 3, 6, 12, 24. (الجواب: 3 × 2^(n - 1))
- الحد النوني 4n + 3. اكتب الحدود الثلاثة الأولى. (الجواب: 7, 11, 15)
أسئلة شائعة
ما الفرق بين قاعدة الانتقال والحد النوني؟
قاعدة الانتقال تخبرك كيف تنتقل من حد إلى الذي يليه مثل أضف ٤، أما الحد النوني فيعطي أي حد مباشرة من رتبته مثل 4n + 1، فتجد الحد المئة دون كتابة ما قبله.
هل المتتاليات التربيعية مقررة في إدكسل الدولي؟
يذكر منهج إدكسل 4MA1 المتتاليات الحسابية ومجموعها، ولا يذكر الحد النوني التربيعي، بينما يتضمن كامبريدج 0580 المتتاليات التربيعية البسيطة حتى في المستوى الأساسي.
هل أحفظ صيغة مجموع المتسلسلة الحسابية؟
في إدكسل العالي تأتي في ورقة الصيغ، لكن عليك معرفة معنى a وd وn واستخدامها بدقة.
كيف أعرف أن المتتالية أسية؟
اقسم كل حد على الذي قبله، فإذا كانت النسبة ثابتة فالمتتالية هندسية وحدها النوني a × r^(n - 1)، وهذا من محتوى كامبريدج الموسّع.
كم تكلفة درس LiveTutor؟
سعر موحد ١٥ $ لدرس فردي أونلاين مدته ٦٠ دقيقة مع مدرس يدرّس منهج طفلك. الدرس الأول تجربة مجانية، ويمكنك حجز من درس إلى خمسة دروس أسبوعيًا بخطة شهرية.
المصادر
التواريخ والأرقام في هذه الصفحة مأخوذة من هذه المصادر الرسمية والمنشورة. تأكد دائماً من المواعيد النهائية في الصفحة الرسمية قبل الاعتماد عليها.