التفاضل في رياضيات IGCSE: الميل ونقاط الانقلاب والحركة

ما يطلبه كل منهج

الأفكار الأساسية

المشتقة dy/dx صيغة لميل المنحنى. لكل حد ax^n اضرب في الأس وأنقص الأس واحدًا: 3x^4 تصبح 12x^3، و5x تصبح ٥، والثابت ٧ يصبح صفرًا. وافتح الأقواس أولًا: y = x(x + 2) = x^2 + 2x، إذن dy/dx = 2x + 2.

عوّض قيمة x في dy/dx لتحصل على الميل عند تلك النقطة. وعند النقطة الحرجة يكون الميل صفرًا، فحلّ dy/dx = 0 لإيجاد إحداثيات x ثم عوّض في y.

لتحديد العظمى والصغرى يقبل كامبريدج أي طريقة صحيحة: رسم دقيق، أو المشتقة الثانية (السالبة تعني عظمى والموجبة صغرى)، أو إشارة الميل على الجانبين. ويطلب إدكسل الاعتماد على الشكل العام للمنحنى.

في الحركة (إدكسل): السرعة v = ds/dt والتسارع a = dv/dt، والجسم ساكن لحظيًا حين v = 0.

مثال محلول ١: النقاط الحرجة للمنحنى y = x^3 - 3x^2 + 4

1. dy/dx = 3x^2 - 6x.
2. 3x(x - 2) = 0، إذن x = 0 أو x = 2.
3. النقطتان (0, 4) و(2, 0).
4. المشتقة الثانية 6x - 6: عند x = 0 تساوي ٦- فالنقطة (0, 4) عظمى، وعند x = 2 تساوي ٦ فالنقطة (2, 0) صغرى.

مثال محلول ٢ (إدكسل العالي): الحركة

1. إزاحة جسيم s = 24t^2 - t^3 مترًا بعد t ثانية حيث 0 ≤ t ≤ 20.
2. v = 48t - 3t^2 وa = 48 - 6t.
3. عند t = 2: السرعة ٨٤ م/ث والتسارع ٣٦ م/ث^2.
4. يسكن الجسيم حين v = 0، أي t = 0 أو t = 16 ثانية، وأقصى سرعة عند t = 8 وتساوي ١٩٢ م/ث.

مثال محلول ٣: مسألة قيمة عظمى

1. مستطيل محيطه ٤٠ سم. جد أكبر مساحة ممكنة.
2. A = x(20 - x) = 20x - x^2، وdA/dx = 20 - 2x = 0 عندما x = 10.
3. المشتقة الثانية ٢- فهي عظمى، والمساحة ١٠٠ سم مربع، أي أن المربع هو الأفضل.
4. إضافة لإدكسل: y = 2x^2 + 3x + 1/x مشتقتها 4x + 3 - 1/x^2، والميل عند x = 1 يساوي ٦.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• اشتقاق الثابت إلى نفسه بدل الصفر.
• نسيان فتح الأقواس قبل الاشتقاق.
• إعطاء إحداثي x فقط للنقطة الحرجة حين تُطلب الإحداثيات.
• التعويض في y بدل dy/dx عند طلب الميل.
• عكس اختبار المشتقة الثانية، فالسالبة تعني عظمى.
• اشتقاق 1/x خطأً، والصحيح كتابتها x^-1 أولًا فتكون المشتقة -x^-2.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

أسئلة التفاضل تتبع تسلسلًا متوقعًا: اشتق، ساوِ بالصفر، حلّ، جد y، حدد النوع. اكتب كل خطوة في سطر مستقل برمز dy/dx الذي يتوقعه كامبريدج، واربط النتائج بالرسم: النقطة الحرجة يجب أن توافق شكل المنحنى.

التفاضل غالبًا أول لقاء للطالب بحساب التفاضل والتكامل، والقاعدة سهلة لكن التطبيقات ليست كذلك. في الدرس الفردي يربط المدرس كل خطوة بالرسم على السبورة المشتركة، فيصبح dy/dx = 0 نقطة مسطحة مرئية على المنحنى، وهذا الفهم يفيد من سيدرس الرياضيات الإضافية أو A Level لاحقًا.

اختبر نفسك

• اشتق y = 5x^4 - 2x + 7. (الجواب: 20x^3 - 2)
• جد ميل y = x^3 عند x = 2. (الجواب: ١٢)
• جد النقطة الحرجة لـ y = 4x^2 - 8x + 1 وحدد نوعها. (الجواب: (1, -3) صغرى)
• اشتق y = (x + 3)(x - 1). (الجواب: 2x + 2)
• إدكسل العالي: اشتق y = 3/x. (الجواب: -3/x^2)