المجموعات وأشكال فن في رياضيات IGCSE: الرموز والتظليل والعدّ

الرموز المطلوبة

من بنود كامبريدج 0580 C1.2 وE1.2، ومنهج إدكسل 4MA1 البند 1.5 والملحق ٦ للرموز.

الأفكار الأساسية

تُكتب المجموعات بسرد العناصر مثل A = {2, 4, 6}، أو بالوصف، أو بالصفة المميزة مثل {x: x عدد صحيح، -2 ≤ x < 3} أي {-2, -1, 0, 1, 2}.

في شكل فن لمجموعتين أربع مناطق: A فقط، والاثنتان، وB فقط، ولا شيء. وفي شكل ثلاث مجموعات (كامبريدج الموسّع) ثماني مناطق، وكل عنصر في منطقة واحدة فقط.

حين يُعطى مجموع مثل «٢٥ يحبون الشاي و٨ يحبون الاثنين» فإن الـ ٢٥ تشمل الـ ٨، فالشاي فقط ١٧. والبدء من التقاطع والطرح نحو الخارج يمنع التكرار.

أسئلة التظليل تطلب مجموعة مثل A ∩ B′ (في A وليس في B) أو (A ∪ B)′ (خارج الاثنتين)، فحدد كل جزء منفصلًا ثم اجمعها.

مثال محلول ١: سرد المجموعات

1. ξ = {1, 2, ..., 12}، وA مضاعفات ٣ = {3, 6, 9, 12}، وB الأعداد الزوجية = {2, 4, 6, 8, 10, 12}.
2. A ∩ B = {6, 12}.
3. A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12}، فعدد عناصرها ٨.
4. (A ∪ B)′ = {1, 5, 7, 11}، وعددها ٤.

مثال محلول ٢: مجموعتان مع مجهول

1. في فصل من ٣٠ طالبًا، ١٨ يلعبون كرة القدم و١٢ التنس و٥ لا يلعبون أيًّا منهما.
2. ليكن x عدد من يلعبون الاثنين: كرة القدم فقط 18 - x والتنس فقط 12 - x.
3. (18 - x) + x + (12 - x) + 5 = 30، إذن x = 5.
4. تحقق: ١٣ + ٥ + ٧ + ٥ = ٣٠.

مثال محلول ٣ (كامبريدج الموسّع): ثلاث مجموعات

1. من ٥٠ طالبًا يدرس ٢٠ الفرنسية و٢٥ الإسبانية و١٥ الألمانية، و٨ الفرنسية والإسبانية، و٥ الفرنسية والألمانية، و٦ الإسبانية والألمانية، و٣ اللغات الثلاث.
2. الوسط ٣، ثم الأزواج فقط: ٥ و٢ و٣.
3. اللغة الواحدة فقط: الفرنسية ١٠ والإسبانية ١٤ والألمانية ٧.
4. المجموع ٤٤، إذن ٦ لا يدرسون أيًّا منها، والقانون يعطي النتيجة نفسها.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• وضع المجموع في منطقة «A فقط» مع أنه يشمل التقاطع.
• نسيان منطقة «لا شيء» داخل ξ وخارج الدوائر.
• الخلط بين ∪ و∩.
• تكرار عنصر في الاتحاد.
• إعطاء n(A) وهو عدد حين يُطلب A وهي مجموعة، أو العكس.
• في الثلاث مجموعات: عدم طرح الوسط من مجاميع الأزواج قبل إيجاد المناطق المفردة.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

أسئلة المجموعات قصيرة وتأتي في بداية الورقة، وترتبط بالاحتمالات: بعد إكمال الشكل يكون P(A) = n(A) ÷ n(ξ)، وأسئلة «بشرط أن» تستخدم الدائرة المعنية فقط. وحين يظهر مجهول اكتب كل منطقة بدلالة x ثم كوّن معادلة من المجموع، واجمع المناطق في النهاية للتحقق.

معظم الأخطاء تأتي من ترتيب ملء الشكل. في الدرس الفردي يملأ المدرس الأشكال مع الطالب على السبورة المشتركة ملتزمًا بالبدء من الوسط حتى يصبح عادة، ثم يمزج أسئلة الرموز والتظليل لتصبح رموز مثل A ∩ B′ سهلة القراءة.

اختبر نفسك

• ξ = {1, 2, ..., 10}، وP الأعداد الأولية، وQ الأعداد الفردية. اسرد P ∩ Q. (الجواب: {3, 5, 7})
• بالمجموعات نفسها جد n(P ∪ Q). (الجواب: ٦)
• اسرد P′ ∩ Q. (الجواب: {1, 9})
• n(A) = 14 وn(B) = 9 وn(A ∩ B) = 4. جد n(A ∪ B). (الجواب: ١٩)
• اسرد {x: x عدد صحيح، -1 < x ≤ 3}. (الجواب: {0, 1, 2, 3})