التناسب الطردي والعكسي في رياضيات IGCSE: y = kx وy = k/x وما بعدهما

ما يطلبه كل مستوى

الأفكار الأساسية

الرمز ∝ يعني «يتناسب مع». استبدله بـ «= k ×» لتحصل على معادلة: y ∝ x^2 تصبح y = kx^2، وy ∝ 1/x تصبح y = k/x. والثابت k واحد لكل أزواج القيم، لذلك يكفي زوج معلوم واحد لإيجاده.

اقرأ الصياغة بدقة: «يتناسب مع مربع x» تعني y = kx^2، و«يتناسب عكسيًا مع الجذر التربيعي لـ x» تعني y = k/sqrt(x).

الرسوم: y = kx خط مستقيم يمر بنقطة الأصل، وy = k/x منحنى يقترب من المحورين دون أن يلمسهما.

أسئلة التغيير يمكن حلها دون k: إذا كان y ∝ x^2 وضُربت x في ٣ فإن y تُضرب في ٩، وإذا كان y ∝ 1/x^2 وتضاعفت x فإن y تُقسم على ٤.

مثال محلول ١: تناسب طردي مع المربع

1. y يتناسب طرديًا مع x^2، وy = 12 عندما x = 2.
2. y = kx^2، إذن 12 = 4k وk = 3، فالقانون y = 3x^2.
3. عندما x = 4.5 فإن y = 60.75.
4. عندما y = 27 فإن x^2 = 9 وx = 3.

مثال محلول ٢: تناسب عكسي مع المربع

1. القوة F بين مغناطيسين تتناسب عكسيًا مع مربع المسافة d، وF = 20 عندما d = 3.
2. F = k/d^2، إذن k = 180.
3. عندما d = 6 فإن F = 180/36 = 5، فمضاعفة المسافة تقسم القوة على ٤.
4. عندما F = 45 فإن d^2 = 4 وd = 2.

مثال محلول ٣: الجذر التربيعي والأثر المئوي

1. y ∝ sqrt(x)، وy = 6 عندما x = 9، إذن k = 2، وعندما x = 25 فإن y = 10.
2. V ∝ r^3 وزادت r بنسبة ١٠٪، فتُضرب V في 1.1^3 = 1.331، أي زيادة ٣٣٫١٪.
3. تحقق: من ١٠ إلى ١١ يتغير المكعب من ١٠٠٠ إلى ١٣٣١.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• استخدام y = kx حين يقول السؤال «مع مربع x».
• كتابة y = x/k أو y = k + x.
• نسيان تربيع قيمة x المعطاة عند إيجاد k.
• عدم كتابة القانون بقيمة k، مع أن له درجة مستقلة غالبًا.
• نسيان أن «عكسيًا مع الجذر» تعني y = k/sqrt(x).
• في أسئلة التغيير: الضرب في المعامل بدل مربعه أو مكعبه.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

هذه الأسئلة تتبع نمطًا ثابتًا، فهي من أضمن الدرجات في الورقة الموسّعة أو العالية. اكتب دائمًا ثلاثة أسطر قبل أي جزء: المعادلة بـ k، والتعويض، والقانون بقيمة k. وانظر إلى جدول القيم لتتعرف النوع: إذا ضربت x في ٢ فضُربت y في ٤ فهو تربيعي.

كثيرًا ما تضيع الدرجات بسبب قراءة القوة الخطأ لا بسبب الجبر. في الدرس الفردي يترجم المدرس مع الطالب الجمل إلى معادلات حتى يصبح النمط تلقائيًا، ثم يربط المعادلات برسومها.

اختبر نفسك

• y ∝ x، وy = 14 عندما x = 4. جد y عندما x = 10. (الجواب: ٣٥)
• p يتناسب عكسيًا مع q، وp = 8 عندما q = 3. جد p عندما q = 12. (الجواب: ٢)
• V ∝ r^3، وV = 54 عندما r = 3. جد V عندما r = 4. (الجواب: ١٢٨)
• y يتناسب عكسيًا مع sqrt(x)، وy = 4 عندما x = 9. جد y عندما x = 16. (الجواب: ٣)
• y ∝ 1/x^2. ماذا يحدث لـ y إذا تضاعفت x؟ (الجواب: تُقسم على ٤)