القوى والجذور الصماء في رياضيات IGCSE: قوانين الأسس والقوى الكسرية وإنطاق المقام

ما يطلبه كل مستوى

الأفكار الأساسية

قوانين الأسس تنطبق على الأساس نفسه فقط: x^3 × x^4 = x^7 وx^7 ÷ x^2 = x^5 و(x^3)^4 = x^12. والمعاملات العددية تُعالج منفصلة: 6x^7 × 5x^-5 = 30x^2. وعند رفع قوس إلى قوة يُرفع كل عامل داخله: (5x^3)^2 = 25x^6.

الأسس السالبة والكسرية تعريفات تحافظ على اتساق القوانين: a^0 = 1، وa^-2 = 1/a^2، وa^(1/2) = sqrt(a). وفي a^(m/n) خذ الجذر أولًا لتبقى الأعداد صغيرة: 8^(2/3) = 2^2 = 4.

لحل معادلة أسية اكتب الطرفين بالأساس نفسه ثم ساوِ الأسس: 5^(x + 1) = 25^x تصبح 5^(x + 1) = 5^(2x)، إذن x + 1 = 2x.

تبسيط الجذر الأصم بإخراج أكبر عامل مربع: sqrt(200) = 10 sqrt(2). ولإنطاق a/sqrt(b) نضرب البسط والمقام في sqrt(b)، ولإنطاق 1/(sqrt(3) - 1) نضرب في sqrt(3) + 1 لأن حاصل الضرب في المقام ٢.

مثال محلول ١: الحساب والتبسيط دون آلة حاسبة

1. 27^(-2/3): الجذر التكعيبي ٣، مربعه ٩، والأس السالب مقلوب، فالجواب 1/9.
2. (1/25)^(-1/2): الأس السالب يقلب الكسر إلى 25^(1/2) = 5.
3. 12a^5 ÷ 3a^-2 = 4a^7.
4. (3 × 10^4) × (4 × 10^-7) = 1.2 × 10^-2 بالصيغة العلمية.

مثال محلول ٢: حل معادلات أسية

1. 5^(x + 1) = 25^x: نكتب 25 = 5^2 فتصبح x + 1 = 2x، إذن x = 1.
2. 32^x = 2: نكتب 32 = 2^5 فتصبح 5x = 1، إذن x = 0.2.
3. 2^x = 1/8: لأن 1/8 = 2^-3 فإن x = -3.

مثال محلول ٣: الجذور الصماء

1. sqrt(200) - sqrt(32) = 10 sqrt(2) - 4 sqrt(2) = 6 sqrt(2).
2. (3 + 5 sqrt(2))^2 = 9 + 30 sqrt(2) + 50 = 59 + 30 sqrt(2).
3. 10/sqrt(5) = 2 sqrt(5) بعد الضرب في sqrt(5) بسطًا ومقامًا.
4. 1/(sqrt(3) - 1) = (1 + sqrt(3))/2، وكلاهما يساوي ١٫٣٦٦ تقريبًا.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• ضرب الأسس عند ضرب الحدود: x^3 × x^4 = x^7 لا x^12.
• رفع جزء من القوس فقط: (2x)^3 = 8x^3.
• اعتبار الأس السالب عددًا سالبًا: 2^-3 = 1/8.
• كتابة sqrt(a + b) = sqrt(a) + sqrt(b)، فـ sqrt(9 + 16) = 5 لا ٧.
• عدم إخراج أكبر عامل مربع: sqrt(72) = 6 sqrt(2).
• ضرب المقام وحده عند الإنطاق.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

القوى والجذور من أسئلة الورقتين الأولى والثانية في كامبريدج حيث لا آلة حاسبة. اكتب الخطوة الوسيطة لأنها تحمل درجة الطريقة، واحفظ المربعات حتى ١٥ والمكعبات من ١ إلى ٥ و١٠ كما يتوقع كامبريدج. وفي إدكسل تُسمح الآلة الحاسبة، لكن أسئلة الجذور تطلب جوابًا دقيقًا أو إظهار العمل.

هذا الموضوع يحتاج إلى طلاقة تأتي من تدريب قصير متكرر. في الدرس الفردي يجري المدرس جولات سريعة على السبورة المشتركة، ويرصد القانون الذي يُطبق خطأً، ويتدرج من الأسس الصحيحة إلى الكسرية ثم الجذور الصماء.

اختبر نفسك

• جد قيمة 2^-3 × 2^4. (الجواب: ٢)
• جد قيمة 125^(2/3). (الجواب: ٢٥)
• بسّط (5x^3)^2. (الجواب: 25x^6)
• أنطق مقام 6/sqrt(3). (الجواب: 2 sqrt(3))
• فك وبسّط (sqrt(7) + 1)(sqrt(7) - 1). (الجواب: ٦)