التوزيع الطبيعي في رياضيات A Level: المعايرة والمسائل العكسية والتقريب

موقع التوزيع الطبيعي في كل منهج

الأفكار الأساسية

X ~ N(μ, σ^2) متوسطه μ وتباينه σ^2، فالانحراف المعياري σ. لاحظ أن المعلمة الثانية هي التباين: N(165, 64) انحرافه 8. والمنحنى متماثل حول μ، فإن P(X < μ) = 0.5.

عاير بالتحويل إلى Z ~ N(0, 1) حيث z = (x - μ)/σ. الجداول تعطي Φ(z) = P(Z < z)، ولـ P(Z > z) استخدم 1 - Φ(z)، وللقيم السالبة Φ(-z) = 1 - Φ(z). ارسم المنحنى وظلل المنطقة المطلوبة دائمًا.

في المسائل العكسية أوجد قيمة z المقابلة للاحتمال ثم حل z = (x - μ)/σ. ومع مجهولين يعطي احتمالان معادلتين آنيتين. وعند تقريب B(n, p) بـ N(np, np(1 - p)) طبّق تصحيح الاتصال: P(X ≥ 30) تصبح P(Y > 29.5).

مثال محلول ١: الأطوال تتوزع N(165, 8^2). أوجد احتمال أن يزيد طول شخص على 175 cm

1. z = (175 - 165)/8 = 1.25.
2. P(Z > 1.25) = 1 - 0.8944.
3. الجواب: 0.1056، أي نحو 10.6%.

مثال محلول ٢: X ~ N(μ, σ^2) حيث P(X < 20) = 0.1 وP(X > 35) = 0.2. أوجد μ وσ

1. P(Z < z) = 0.1 تعطي z = -1.282، إذن μ - 1.282σ = 20.
2. Φ(z) = 0.8 تعطي z = 0.842، إذن μ + 0.842σ = 35.
3. بالطرح: 2.124σ = 15، إذن σ = 7.06.
4. ومنه μ = 29.1.

مثال محلول ٣ (9709 الورقة ٥ وإدكسل S2): X ~ B(60, 0.4). استخدم التقريب الطبيعي لإيجاد P(X ≥ 30)

1. الشرطان: np = 24 وnq = 36 كلاهما أكبر من 5.
2. المتوسط 24 والتباين 14.4، إذن Y ~ N(24, 14.4) وσ = 3.795.
3. تصحيح الاتصال: P(Y > 29.5).
4. z = 5.5 ÷ 3.795 = 1.449.
5. P(Z > 1.449) = 0.0736، والقيمة الدقيقة من ذات الحدين 0.0746.

أخطاء شائعة تُفقد الدرجات

• القسمة على التباين بدل الانحراف المعياري.
• استخدام الطرف الخطأ، مثل Φ(1.25) عندما تُطلب P(Z > 1.25).
• خطأ إشارة z في المسائل العكسية عندما تكون القيمة تحت المتوسط.
• نسيان تصحيح الاتصال أو تطبيقه خطأ.
• عدم ذكر شروط التقريب عند طلبها.
• الاكتفاء بجواب الآلة الحاسبة دون إظهار المعايرة، ومنهج 9709 يطلب خطوات كاملة.

أسلوب الإجابة في الامتحان ودور المدرس

اكتب P(X > 175) = P(Z > (175 - 165)/8) = P(Z > 1.25) في سطر واحد قبل العدد، فهذا السطر يحمل درجات الطريقة. وارسم منحنى سريعًا لكل سؤال لتتجنب أكثر الأخطاء شيوعًا، وهو اختيار الجهة الخطأ.

في الحصة الفردية يدرّب المدرس الطالب على خطوة المعايرة واختيار الطرف بأسئلة قصيرة متنوعة، ثم ينتقل إلى مسائل المجهولين والتقريب حيث يضيع معظم الوقت، ويرى كل رسم على السبورة المشتركة ويصححه قبل أن يتحول إلى جواب خاطئ.

اختبر نفسك

• X ~ N(50, 16). أوجد P(X < 46). (الجواب: 0.1587)
• X ~ N(100, 15^2). أوجد القيمة التي يتجاوزها 5% من المجتمع. (الجواب: 124.7)
• اكتب P(X ≤ 12) مع تصحيح الاتصال. (الجواب: P(Y < 12.5))
• في N(70, 9) ما قيمة σ؟ (الجواب: 3)
• ما شرطا منهج 9709 لتقريب B(n, p) بالتوزيع الطبيعي؟ (الجواب: np > 5 وnq > 5)