اختبار الفرضيات في رياضيات A Level: ذات الحدين وبواسون ومتوسط التوزيع الطبيعي

موقع اختبار الفرضيات في كل منهج

الورقة السادسة في كامبريدج لا تُقدَّم إلا بعد الورقة الخامسة، ضمن مسار الأوراق ١ و٣ و٥ و٦.

الأفكار الأساسية

يُجرى الاختبار بافتراض صحة H0. والقيمة الاحتمالية هي احتمال الحصول على النتيجة المشاهدة أو أكثر تطرفًا في اتجاه H1. في الاختبار بطرف واحد قارنها بمستوى الدلالة، مثل 5%، وفي الاختبار بطرفين قارن كل طرف بنصف مستوى الدلالة.

المنطقة الحرجة هي مجموعة قيم إحصاءة الاختبار التي تؤدي إلى رفض H0. وفي التوزيعات المتقطعة مثل ذات الحدين لا يمكن غالبًا بلوغ 5% بالضبط، فمستوى الدلالة الفعلي هو احتمال المنطقة الحرجة، وهو 5% على الأكثر.

خطأ النوع الأول هو رفض H0 وهي صحيحة، واحتماله يساوي مستوى الدلالة الفعلي. وخطأ النوع الثاني هو عدم رفض H0 وهي خاطئة. ولا تكون الخلاصة أبدًا «H0 صحيحة»، بل إما يوجد دليل لرفضها أو لا يوجد.

مثال محلول ١ (ذات الحدين، طرف واحد): متجر يقول إن 30% من الزبائن يستخدمون قسيمة. في عينة من 20 استخدمها 2 فقط. اختبر عند 5% إن كانت النسبة أقل

1. X عدد مستخدمي القسيمة من 20، وتحت H0 يكون X ~ B(20, 0.3).
2. H0: p = 0.3 وH1: p < 0.3.
3. P(X ≤ 2) = 0.0008 + 0.0068 + 0.0278 = 0.0355.
4. 0.0355 < 0.05، إذن نرفض H0.
5. الخلاصة: يوجد دليل عند مستوى 5% على أن أقل من 30% من الزبائن يستخدمون القسيمة.
6. المنطقة الحرجة X ≤ 2 لأن P(X ≤ 3) = 0.1071 أكبر من 5%، ومستوى الدلالة الفعلي 3.55%.

مثال محلول ٢ (بواسون): مركز اتصال يتلقى 4.5 مكالمة في الساعة في المتوسط، وفي ساعة ما تلقى 9. اختبر عند 5% إن زاد المعدل

1. تحت H0 يكون X ~ Po(4.5). H0: λ = 4.5 وH1: λ > 4.5.
2. P(X ≥ 9) = 1 - P(X ≤ 8) = 1 - 0.9597 = 0.0403.
3. 0.0403 < 0.05، إذن نرفض H0.
4. الخلاصة: يوجد دليل عند مستوى 5% على أن متوسط المكالمات في الساعة قد زاد.

مثال محلول ٣ (كامبريدج الورقة ٦، متوسط طبيعي): أكياس يُفترض أن تزن 50 g مع σ = 6 g. عينة من 36 متوسطها 48.2 g. اختبر عند 5% إن تغير المتوسط

1. H0: μ = 50 وH1: μ ≠ 50 (بطرفين).
2. تحت H0 يتوزع متوسط العينة N(50, 6^2 ÷ 36)، فالخطأ المعياري 1.
3. z = (48.2 - 50) ÷ 1 = -1.8.
4. القيمتان الحرجتان ±1.96، و-1.8 ليست في المنطقة الحرجة.
5. لا نرفض H0: لا يوجد دليل كافٍ عند 5% على تغير متوسط الكتلة.

أخطاء شائعة تُفقد الدرجات

• كتابة الفرضيات بالكلمات أو بقيمة العينة بدل معلمة المجتمع، مثل H0: X = 2.
• استخدام P(X = 2) بدل P(X ≤ 2).
• نسيان قسمة مستوى الدلالة على الطرفين في الاختبار بطرفين.
• الاستنتاج بأن «H0 صحيحة» أو أن «الادعاء ثبت».
• خلاصة بلا سياق، والدرجة الأخيرة تحتاج غالبًا كلمات السؤال.
• حساب P(X ≥ 9) على أنها 1 - P(X ≤ 9) بدل 1 - P(X ≤ 8).

أسلوب الإجابة في الامتحان ودور المدرس

استخدم البنية نفسها في كل مرة: عرّف المتغير وتوزيعه تحت H0، واكتب H0 وH1 بالمعلمة، واحسب الاحتمال أو الإحصاءة، وقارن بمستوى الدلالة، واكتب خلاصة في السياق بعبارة غير جازمة مثل «يوجد دليل على أن». المصححون يوزعون الدرجات على هذه الخطوات.

يجد المدرسون أن الخطأ في هذا الموضوع يكون في اللغة أكثر من الحساب. في الحصة الفردية يكتب الطالب اختبارات كاملة ويصححها المدرس وفق صياغة سلّم التصحيح الرسمي، خصوصًا الفرضيات والخلاصة، حتى تصبح البنية تلقائية.

اختبر نفسك

• اكتب H0 وH1 لاختبار إن كانت قطعة نقود منحازة. (الجواب: H0: p = 0.5 وH1: p ≠ 0.5)
• ما احتمال خطأ النوع الأول في المثال الأول؟ (الجواب: 0.0355)
• في اختبار بطرفين عند 10%، كم الاحتمال في كل طرف؟ (الجواب: 5%)
• لماذا لا يكون مستوى الدلالة في اختبار ذات الحدين 5% بالضبط؟ (الجواب: لأن X متقطع)
• ما الورقة التي يجب تقديمها قبل الورقة السادسة في كامبريدج؟ (الجواب: الورقة الخامسة)