المتطابقات المثلثية في رياضيات A Level: sec وزوايا المجموع والصيغة R sin(θ + α)

موقع المتطابقات المثلثية في كل منهج

الأفكار الأساسية

اقسم sin^2 θ + cos^2 θ = 1 على cos^2 θ فتحصل على tan^2 θ + 1 = sec^2 θ، واقسمها على sin^2 θ فتحصل على 1 + cot^2 θ = cosec^2 θ. بهاتين المتطابقتين تحوّل معادلة فيها دالتان مختلفتان إلى معادلة تربيعية في دالة واحدة يمكن تحليلها.

صيغتا المجموع: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B وcos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B. وبوضع A = B نحصل على sin 2A = 2 sin A cos A وcos 2A = cos^2 A - sin^2 A = 2cos^2 A - 1 = 1 - 2sin^2 A. اختر صيغة cos 2A التي تترك دالة واحدة فقط في المعادلة.

أي عبارة a sin θ + b cos θ يمكن كتابتها R sin(θ + α) حيث R = sqrt(a^2 + b^2) وtan α = b/a، فتصبح المعادلة بدالة جيب واحدة، وتظهر القيمة العظمى R والصغرى -R مباشرة. عند الحل عدّل الفترة للزاوية θ + α أولًا ثم اطرح α.

مثال محلول ١: حل 2 sec^2 θ - tan θ = 5 حيث 0° ≤ θ ≤ 180°

1. نعوض sec^2 θ = 1 + tan^2 θ: 2 + 2tan^2 θ - tan θ = 5.
2. نرتب: 2tan^2 θ - tan θ - 3 = 0، وتحليلها (2tan θ - 3)(tan θ + 1) = 0.
3. إذن tan θ = 1.5 أو tan θ = -1.
4. tan θ = 1.5 تعطي θ = 56.3°، والحل التالي 236.3° خارج الفترة.
5. tan θ = -1 تعطي θ = 135°.
6. الجواب: θ = 56.3° أو 135°. وللتحقق عند 135°: sec^2 = 2 وtan = -1 فيكون 4 + 1 = 5.

مثال محلول ٢: اكتب 3 sin θ + 4 cos θ على الصورة R sin(θ + α) ثم حل المعادلة = 2.5 حيث 0° ≤ θ ≤ 360°

1. بالمقارنة: R cos α = 3 وR sin α = 4.
2. R = 5 وtan α = 4/3، إذن α = 53.13°.
3. المعادلة: sin(θ + 53.13°) = 0.5.
4. الزاوية θ + 53.13° بين 53.13° و413.13°، إذن تساوي 150° أو 390°.
5. الجواب: θ = 96.9° أو 336.9°.

مثال محلول ٣: أثبت أن (1 - cos 2x)/sin 2x ≡ tan x

1. نبدأ بالطرف الأيسر لأنه الأعقد.
2. نستخدم cos 2x = 1 - 2sin^2 x فيصبح البسط 2sin^2 x.
3. ونستخدم sin 2x = 2 sin x cos x.
4. الطرف الأيسر = 2sin^2 x/(2 sin x cos x) = sin x/cos x = tan x، وهو الطرف الأيمن.

أخطاء شائعة تُفقد الدرجات

• القسمة على cos θ أو sin θ وضياع الحلول التي تجعلها صفرًا. حلّل بدل القسمة.
• الاكتفاء بحل الآلة الحاسبة ونسيان بقية الحلول في الفترة.
• عدم تعديل الفترة للزاوية θ + α أو 2θ قبل الحل.
• كتابة sin(A + B) = sin A + sin B.
• الخلط بين الدرجات والراديان.
• في الإثبات: العمل على الطرفين معًا أو البدء من العبارة المطلوب إثباتها.

أسلوب الإجابة في الامتحان ودور المدرس

تأتي المعادلات المثلثية غالبًا في جزأين: «أثبت أن» يحول المعادلة إلى تربيعية، ثم «ومن ثم حل». حتى لو لم تستطع الجزء الأول استخدم النتيجة المعطاة في الجزء الثاني لأن درجاته مستقلة. وأعطِ الزوايا بالدقة المطلوبة، وارسم المنحنى سريعًا لتعرف عدد الحلول المتوقع.

في الحصة الفردية يركز المدرس على اختيار المتطابقة المناسبة، لأن الطالب يعرف القوانين غالبًا لكنه يختار صيغة تترك دالتين. يعطي المدرس معادلات بفترات صعبة ويطابق كل مجموعة حلول مع رسم على السبورة المشتركة حتى يصبح إيجاد كل الحلول أمرًا تلقائيًا.

اختبر نفسك

• أوجد القيمة الدقيقة لـ cos 75°. (الجواب: (sqrt6 - sqrt2)/4)
• حل sin 2x = cos x حيث 0° ≤ x ≤ 360°. (الجواب: 30° و90° و150° و270°)
• ما القيمة العظمى لـ 3 sin θ + 4 cos θ؟ (الجواب: 5)
• اكتب 2cos^2 x - 1 كدالة مثلثية واحدة. (الجواب: cos 2x)
• بسّط (sec^2 x - 1)/tan x. (الجواب: tan x)