علم الحركة في رياضيات A Level: معادلات SUVAT ومنحنيات السرعة والتسارع المتغير

موقع علم الحركة في كل منهج

الورقة الرابعة في كامبريدج 9709 مدتها ساعة و١٥ دقيقة ودرجتها ٥٠، ووحدة M1 في إدكسل مدتها ساعة ونصف ودرجتها ٧٥.

الأفكار الأساسية

للتسارع الثابت: v = u + at وs = ut + (1/2)at^2 وs = vt - (1/2)at^2 وv^2 = u^2 + 2as وs = (1/2)(u + v)t. كل معادلة تحذف كمية واحدة من الخمس، فاكتب ما تعرفه وما تريده واختر المعادلة التي تحذف الكمية التي لا تعرفها ولا تحتاجها.

اختر اتجاهًا موجبًا من البداية. للكرة المقذوفة لأعلى، إذا كان الأعلى موجبًا فإن a = -g طوال الرحلة حتى في النزول، والإزاحة تحت نقطة البداية سالبة.

عندما لا يكون التسارع ثابتًا لا تصلح SUVAT، فاستخدم v = ds/dt وa = dv/dt والتكامل في الاتجاه المعاكس مع إيجاد الثابت من الشروط الابتدائية. والمسافة المقطوعة ليست دائمًا الإزاحة: إذا غيّر الجسيم اتجاهه فقسّم الفترة عند v = 0 واجمع مقادير الأجزاء.

مثال محلول ١ (9709، g = 10): كرة تُقذف لأعلى بسرعة 15 m s^-1 من ارتفاع 2 m فوق الأرض

1. الأعلى موجب: u = 15 وa = -10.
2. أقصى ارتفاع فوق نقطة القذف: عند القمة v = 0، فإن 0 = 225 - 20s، إذن s = 11.25 m.
3. زمن الوصول إلى الأرض: s = -2، إذن -2 = 15t - 5t^2.
4. 5t^2 - 15t - 2 = 0، فيكون t = (15 + sqrt(265))/10 = 3.13 s.
5. مع g = 9.8 كما في ورقة إدكسل التي تذكرها تكون النتائج 11.5 m و3.19 s. استخدم دائمًا القيمة المذكورة في الورقة.

مثال محلول ٢ (9709 P4 وإدكسل M2): v = 3t^2 - 12t + 9. متى يسكن الجسيم وما المسافة في أول 3 ثوانٍ؟

1. يسكن عندما v = 0: 3(t - 1)(t - 3) = 0، إذن t = 1 وt = 3.
2. الإزاحة: s = t^3 - 6t^2 + 9t.
3. عند t = 1 تكون s = 4، وعند t = 3 تكون s = 0.
4. يتحرك الجسيم 4 m للأمام ثم يعود 4 m.
5. الإزاحة بعد 3 ثوانٍ صفر، والمسافة المقطوعة 8 m.

مثال محلول ٣: منحنى السرعة والزمن

1. سيارة تتسارع بانتظام من السكون إلى 12 m s^-1 في 4 s، ثم تسير بسرعة ثابتة 10 s، ثم تتباطأ بانتظام حتى تتوقف في 6 s.
2. التسارع = 12 ÷ 4 = 3 m s^-2، والتباطؤ = 12 ÷ 6 = 2 m s^-2.
3. المسافة = المساحة = 24 + 120 + 36 = 180 m.

أخطاء شائعة تُفقد الدرجات

• استخدام SUVAT عندما يتغير التسارع مع الزمن.
• خلط الإشارات: الأعلى موجب للسرعة مع استخدام a = +10.
• إعطاء الإزاحة عندما تُطلب المسافة أو العكس.
• رفض الجذر الخطأ من المعادلة التربيعية للزمن.
• استخدام g = 9.8 في ورقة كامبريدج أو g = 10 في ورقة إدكسل تذكر 9.8.
• قراءة مساحة منحنى السرعة والزمن على أنها تسارع.

أسلوب الإجابة في الامتحان ودور المدرس

ابدأ كل سؤال برسم صغير وقائمة: s = ? وu = 15 وv = 0 وa = -10 وt = ?. يستغرق ذلك ثواني ويكسب درجة الطريقة ويجعل اختيار المعادلة واضحًا. واذكر الاتجاه الموجب، وأعطِ الإجابات لثلاثة أرقام معنوية ما لم يُطلب غير ذلك.

في الحصة الفردية يركز المدرس على إعداد المسألة لأن الدرجات تضيع غالبًا قبل كتابة أي معادلة. يتدرب الطالب على تحويل الكلام إلى قائمة معطيات، ثم على مسائل متعددة المراحل بجسيمين أو بتغير في التسارع من أوراق المجلس الذي يمتحن فيه.

اختبر نفسك

• حجر يسقط من السكون لمدة 3 s (g = 10). ما المسافة؟ (الجواب: 45 m)
• سيارة تتباطأ من 20 إلى 8 m s^-1 خلال 70 m. أوجد التباطؤ. (الجواب: 2.4 m s^-2)
• s = t^3 - 3t. أوجد التسارع عند t = 2. (الجواب: 12)
• ماذا يمثل ميل منحنى الإزاحة والزمن؟ (الجواب: السرعة)
• ما معادلة SUVAT التي لا تحتوي t؟ (الجواب: v^2 = u^2 + 2as)