الدوال الأسية واللوغاريتمات في رياضيات A Level: القوانين والمعادلات والخط المستقيم

موقع الموضوع في كل منهج

الأفكار الأساسية

القوانين الثلاثة: log a + log b = log(ab)، وlog a - log b = log(a/b)، وk log a = log(a^k)، بالأساس نفسه. وهي مشتقة من قوانين الأسس، فتصلح للضرب والقسمة والقوى فقط، ولا يوجد قانون لـ log(a + b).

e هو الأساس الذي يكون عنده ميل e^x مساويًا لـ e^x، وln x تعني اللوغاريتم للأساس e، ولأنهما دالتان عكسيتان فإن ln(e^x) = x. لحل معادلة فيها المجهول في الأس خذ ln للطرفين وأنزل الأس واجمع حدود المجهول. والمعادلات مثل e^(2x) - 5e^x + 6 = 0 تربيعية في الحقيقة: ضع u = e^x.

إذا كان y = kx^n فإن ln y = ln k + n ln x، فرسم ln y مقابل ln x خط مستقيم ميله n ومقطعه ln k. وإذا كان y = k a^x فإن ln y مقابل x خط ميله ln a. أسئلة الامتحان تعطي نقطتين على الخط أو جدول بيانات وتطلب الثوابت.

مثال محلول ١: حل 3^(x + 1) = 4^(2x - 1) لثلاثة أرقام معنوية

1. نأخذ ln للطرفين: (x + 1) ln 3 = (2x - 1) ln 4.
2. نفك الأقواس: x ln 3 + ln 3 = 2x ln 4 - ln 4.
3. نجمع حدود x: ln 3 + ln 4 = x(2 ln 4 - ln 3).
4. إذن x = ln 12/ln(16/3) = 2.4849/1.6740.
5. الجواب: x = 1.48. وللتحقق: الطرفان يساويان نحو 15.3.

مثال محلول ٢: تحويل y = kx^n إلى خط مستقيم

1. رسم ln y مقابل ln x خط مستقيم يمر بالنقطتين (1.0, 2.5) و(3.0, 3.5). أوجد k وn.
2. ln y = ln k + n ln x، فالميل n والمقطع ln k.
3. الميل: n = (3.5 - 2.5)/(3.0 - 1.0) = 0.5.
4. المقطع: 2.5 = ln k + 0.5، إذن ln k = 2.0 وk = e^2 = 7.39.
5. الجواب: y = 7.39 x^0.5.

مثال محلول ٣: نموذج نمو

1. عدد سكان يُنمذج بالعلاقة N = 500e^(0.04t) حيث t بالسنوات. متى يصل العدد إلى 1500؟
2. 500e^(0.04t) = 1500، إذن e^(0.04t) = 3.
3. نأخذ ln: 0.04t = ln 3 = 1.0986.
4. إذن t = 27.5 سنة تقريبًا.

أخطاء شائعة تُفقد الدرجات

• كتابة log(a + b) = log a + log b.
• التعامل مع ln 12/ln 4 كأنها ln 3.
• نسيان أن ln x يتطلب x > 0، وعدم رفض الحلول التي تجعل ما داخل اللوغاريتم سالبًا.
• قراءة مقطع الرسم اللوغاريتمي على أنه k بدل ln k.
• التقريب المبكر فيخرج الجواب النهائي خاطئًا.
• في أوراق كامبريدج: الاعتماد على تغيير الأساس الذي يستثنيه منهج 9709 بدل أخذ اللوغاريتم للطرفين.

أسلوب الإجابة في الامتحان ودور المدرس

اكتب السطر الذي تأخذ فيه اللوغاريتم للطرفين والسطر الذي ينزل فيه الأس، فعليهما درجات الطريقة. واحتفظ بالقيم دقيقة حتى الخطوة الأخيرة. وفي المتباينات تذكّر أن القسمة على لوغاريتم سالب مثل ln 0.5 تعكس إشارة المتباينة.

في الحصة الفردية يتأكد المدرس أولًا أن الطالب يفهم معنى اللوغاريتم فعلًا، لأن كثيرين يحفظون القوانين رموزًا بلا معنى ثم يسيئون تطبيقها. أسئلة يومية قصيرة على القوانين، ثم معادلات ورسوم لوغاريتمية من أوراق سابقة، تجعل هذا الموضوع من أضمن مصادر الدرجات.

اختبر نفسك

• حل e^(2x) - 5e^x + 6 = 0. (الجواب: x = ln 2 أو ln 3)
• حل ln(2x - 1) = 3. (الجواب: x = (e^3 + 1)/2، أي نحو 10.5)
• حل 2^x = 7. (الجواب: 2.81)
• حل log_2(x + 6) - log_2 x = 2. (الجواب: x = 2)
• إذا كان y = k(a^x) فماذا ترسم لتحصل على خط مستقيم؟ (الجواب: ln y مقابل x، والميل ln a)