المتجهات في رياضيات A Level: المستقيمات في الفضاء والتقاطع والضرب القياسي

موقع المتجهات في كل منهج

الأفكار الأساسية

متجه الموضع يحدد النقطة بالنسبة إلى نقطة الأصل O، والمتجه من A إلى B هو AB = b - a. ومقدار (x, y, z) هو sqrt(x^2 + y^2 + z^2)، ومتجه الوحدة هو المتجه مقسومًا على مقداره.

المستقيم المار بنقطة متجه موضعها a في اتجاه b هو r = a + tb. لاختبار مستقيمين قارن الاتجاهين أولًا: إذا كان أحدهما مضاعفًا للآخر فهما متوازيان. وإلا فساوِ النقطتين العامتين وحل معادلتين من الثلاث لإيجاد المعاملين، ثم تحقق من الثالثة: إذا تحققت فالمستقيمان متقاطعان، وإلا فهما متخالفان.

الضرب القياسي a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3 يساوي أيضًا |a||b| cos θ. ولزاوية بين مستقيمين استخدم متجهي الاتجاه. وإذا كان a.b = 0 فالمتجهان متعامدان، وبهذا تجد موقع العمود من نقطة على مستقيم.

مثال محلول ١: المستقيم المار بالنقطتين A(1, 2, -1) وB(3, 1, 2) وزاويته مع الاتجاه (1, 1, 1)

1. الاتجاه: AB = (2, -1, 3).
2. المعادلة: r = (1, 2, -1) + t(2, -1, 3).
3. الضرب القياسي مع (1, 1, 1): 2 - 1 + 3 = 4.
4. المقداران: sqrt14 وsqrt3.
5. cos θ = 4/sqrt42 = 0.6172، إذن θ = 51.9°.

مثال محلول ٢: هل يتقاطع المستقيمان r = (1, 2, -1) + t(2, -1, 3) وr = (1, 3, 4) + s(1, -1, -1)؟

1. الاتجاهان غير متناسبين، فالمستقيمان غير متوازيين.
2. نساوي المركبات: 1 + 2t = 1 + s و2 - t = 3 - s و-1 + 3t = 4 - s.
3. من الأولى s = 2t، وبالتعويض في الثانية: t = 1 وs = 2.
4. نتحقق من الثالثة: -1 + 3 = 2 و4 - 2 = 2، فهي متحققة.
5. إذن يتقاطعان في النقطة (3, 1, 2).

مثال محلول ٣: موقع العمود من P(4, 3, 2) على المستقيم r = (1, 2, -1) + t(2, -1, 3)

1. النقطة العامة على المستقيم Q = (1 + 2t, 2 - t, -1 + 3t).
2. PQ = (2t - 3, -t - 1, 3t - 3).
3. شرط التعامد: 4t - 6 + t + 1 + 9t - 9 = 14t - 14 = 0.
4. إذن t = 1 وموقع العمود (3, 1, 2).
5. البعد العمودي |(-1, -2, 0)| = sqrt5.

أخطاء شائعة تُفقد الدرجات

• استخدام متجهات الموضع بدل متجهات الاتجاه عند حساب الزاوية بين مستقيمين.
• استخدام حرف المعامل نفسه للمستقيمين.
• حل معادلتين ونسيان التحقق من الثالثة.
• وصف مستقيمين غير متوازيين لا يلتقيان بأنهما متوازيان بدل متخالفين.
• أخطاء الإشارة في b - a.
• إعطاء الزاوية الحادة عندما تُطلب المنفرجة أو العكس.

أسلوب الإجابة في الامتحان ودور المدرس

أسئلة المتجهات طويلة ومتعددة الأجزاء، وكل جزء يبني على ما قبله. اكتب المتجهات بصيغة ثابتة، وسمِّ كل متجه، واكتب الخلاصة بالكلمات مثل «المستقيمان يتقاطعان في (3, 1, 2)» أو «المعادلة الثالثة لا تتحقق فالمستقيمان متخالفان».

يفهم الطلاب المتجهات عادة لكنهم يخسرون الدرجات في الحساب. في الحصة الفردية يحل المدرس مع الطالب أسئلة كاملة متعددة الأجزاء ويتحقق من كل مركبة على السبورة المشتركة، ويبني عادة التعويض في المعادلات الثلاث قبل الانتقال.

اختبر نفسك

• أوجد |(2, -3, 6)|. (الجواب: 7)
• أوجد متجه وحدة في اتجاه (2, -3, 6). (الجواب: (2/7, -3/7, 6/7))
• أوجد (1, 2, 3).(4, -5, 6). (الجواب: 12)
• هل (1, 2, 0) و(2, -1, 3) متعامدان؟ (الجواب: نعم، الضرب القياسي صفر)
• اكتب معادلة المستقيم المار بالنقطة (0, 1, 2) والموازي لـ (1, 0, -1). (الجواب: r = (0, 1, 2) + t(1, 0, -1))