الطرق العددية في رياضيات A Level: تغير الإشارة والتكرار وقاعدة شبه المنحرف

موقع الطرق العددية في كل منهج

الأفكار الأساسية

إذا كانت f متصلة على فترة وكانت إشارتا f(a) وf(b) مختلفتين فللمعادلة f(x) = 0 جذر بين a وb. ولإثبات جذر بدقة معينة اختبر حدّي فترة التقريب: لإثبات أن الجذر 2.09 لمنزلتين عشريتين أظهر أن إشارتي f(2.085) وf(2.095) مختلفتان.

التكرار يعيد ترتيب f(x) = 0 على الصورة x = F(x) ثم يطبق x(n+1) = F(x(n)) مرارًا من قيمة ابتدائية. إذا استقرت القيم فالنهاية جذر للمعادلة الأصلية. وليست كل إعادة ترتيب متقاربة، ولهذا تعطي الأسئلة عادة إعادة الترتيب.

قاعدة شبه المنحرف تقسم المساحة إلى n شريحة عرض كل منها h = (b - a)/n: المساحة ≈ (h/2)[y0 + yn + 2(y1 + ... + y(n-1))]. إذا كان المنحنى محدبًا للأعلى فالأوتار فوقه والتقدير زائد، وإذا كان مقعرًا للأسفل فالتقدير ناقص.

مثال محلول ١: أثبت أن للمعادلة x^3 - 2x - 5 = 0 جذرًا بين 2 و3 ثم أوجده بالتكرار

1. f(2) = -1 وf(3) = 16.
2. تغيرت الإشارة وf متصلة، إذن يوجد جذر بين 2 و3.
3. إعادة الترتيب: x(n+1) = (2x(n) + 5)^(1/3) مع x1 = 2.
4. x2 = 2.08008 وx3 = 2.09235 وx4 = 2.09422 وx5 = 2.09450 وx6 = 2.09454 وx7 = 2.09455.
5. للتأكد أن الجذر 2.095 لثلاث منازل: f(2.0945) = -0.0006 وf(2.0955) = 0.0105، إشارتان مختلفتان.

مثال محلول ٢: قدّر تكامل ln x من 1 إلى 3 بقاعدة شبه المنحرف بأربع شرائح

1. h = 0.5، وقيم x هي 1 و1.5 و2 و2.5 و3.
2. قيم y: 0 و0.405465 و0.693147 و0.916291 و1.098612.
3. المساحة ≈ 0.25 × 5.128418 = 1.282.
4. القيمة الدقيقة 3 ln 3 - 2 = 1.296، فالتقدير ناقص.
5. وهذا متوقع لأن منحنى ln x مقعر، فالأوتار تقع تحته.

أخطاء شائعة تُفقد الدرجات

• إظهار تغير الإشارة دون كتابة الخلاصة «إذن يوجد جذر بين a وb».
• اختبار حدود خاطئة: لتأكيد 2.095 لثلاث منازل اختبر 2.0945 و2.0955.
• تقريب قيم التكرار مبكرًا.
• الخلط بين عدد الشرائح وعدد القيم: أربع شرائح تحتاج خمس قيم لـ y.
• استخدام الدرجات بدل الراديان للدوال المثلثية.
• الحكم بأن التقدير زائد أو ناقص دون تبرير بشكل المنحنى.

أسلوب الإجابة في الامتحان ودور المدرس

أسئلة الطرق العددية من أضمن الدرجات لأن الطريقة لا تتغير. اكتب قيم التكرار في قائمة بأربع أو خمس منازل عشرية، وأعطِ الجواب بالدقة المطلوبة. وضع قيم x وy في جدول قبل تطبيق قاعدة شبه المنحرف.

في الحصة الفردية لا يقضي المدرس وقتًا طويلًا على الطريقة نفسها، بل على صياغة الخلاصات واستخدام الآلة الحاسبة لتشغيل التكرار بسرعة، لأن الدرجات تضيع هناك. ثم يحل الطالب أسئلة أوراق سابقة ويقارن صياغته بسلّم التصحيح.

اختبر نفسك

• أثبت أن للمعادلة x^3 + x - 3 = 0 جذرًا بين 1 و2. (f(1) = -1 وf(2) = 7)
• التكرار x(n+1) = (2x(n) + 5)^(1/3) يتقارب إلى α. ما المعادلة التي يحققها α؟ (الجواب: α^3 - 2α - 5 = 0)
• كم قيمة لـ y تحتاج ست شرائح؟ (الجواب: 7)
• هل تعطي قاعدة شبه المنحرف تقديرًا زائدًا أم ناقصًا لتكامل e^x من 0 إلى 1؟ (الجواب: زائدًا لأن المنحنى محدب)
• ما الطريقة من FP1 غير المطلوبة في كامبريدج 9709؟ (الجواب: نيوتن رافسون)