طرق التكامل في رياضيات A Level: المساحات والتجزئة والتعويض والكسور الجزئية

موقع التكامل في كل منهج

طالب كامبريدج يقدّم الورقة ٢ لمستوى AS فقط أو الورقة ٣ لـ A Level كاملًا. قائمة القوانين متاحة في الامتحان، لكن التعرّف على التكاملات القياسية يجب أن يكون سريعًا.

الأفكار الأساسية

في القوى: أضف واحدًا إلى الأس واقسم على الأس الجديد، فتكامل x^n هو x^(n+1)/(n+1) + c لأي n عدا -1. وإذا كان داخل القوس خطيًا فاقسم أيضًا على معامل x: تكامل (2x + 3)^4 هو (2x + 3)^5/10 + c. والحالة n = -1 تعطي لوغاريتمًا: تكامل 1/(ax + b) هو (1/a) ln|ax + b| + c.

التكامل المحدد يعطي المساحة بإشارتها، فالجزء تحت محور x يخرج سالبًا. ولإيجاد المساحة بين منحنيين كامِل (المنحنى الأعلى ناقص الأسفل) بين نقطتي التقاطع. وحجم الدوران حول محور x يساوي π مضروبًا في تكامل y^2.

في الدوال الأصعب اختر الطريقة من شكل الدالة: حاصل ضرب نوعين مختلفين مثل x e^(2x) يشير إلى التجزئة، مع اختيار u للجزء الذي يبسط بالاشتقاق (وln x دائمًا هي u). والدالة الكسرية ذات المقام المحلل تشير إلى الكسور الجزئية. والبسط الذي هو مضاعف لمشتقة المقام مثل 2x/(x^2 + 1) يعطي لوغاريتمًا. وقوى sin وcos تحتاج غالبًا متطابقة مثل sin^2 x = (1 - cos 2x)/2.

مثال محلول ١: المساحة بين y = 9 - x^2 وy = 5

1. نقاط التقاطع: 9 - x^2 = 5 أي x^2 = 4، إذن x = -2 وx = 2.
2. القطع المكافئ هو الأعلى، فنكامل 4 - x^2.
3. التكامل: 4x - x^3/3.
4. بالتعويض: (8 - 8/3) - (-8 + 8/3) = 32/3.
5. الجواب: المساحة 32/3، أي نحو 10.7 وحدة مربعة.

مثال محلول ٢ (كامبريدج P3 وإدكسل P4): بالتجزئة، تكامل x e^(2x) من 0 إلى 1

1. نختار u = x وdv/dx = e^(2x)، فيكون du/dx = 1 وv = (1/2)e^(2x).
2. نطبق القاعدة: التكامل = (x/2)e^(2x) ناقص تكامل (1/2)e^(2x).
3. تكامل (1/2)e^(2x) هو (1/4)e^(2x).
4. التكامل غير المحدد: (x/2)e^(2x) - (1/4)e^(2x) + c.
5. بالحدود: عند x = 1 القيمة e^2/4، وعند x = 0 القيمة -1/4. الناتج (e^2 + 1)/4، أي نحو 2.097.

مثال محلول ٣ (كامبريدج P3 وإدكسل P4): بالكسور الجزئية، تكامل (x + 5)/((x - 1)(x + 2)) من 2 إلى 3

1. نكتب x + 5 = A(x + 2) + B(x - 1).
2. عند x = 1: 6 = 3A أي A = 2. وعند x = -2: 3 = -3B أي B = -1.
3. التكامل: 2 ln(x - 1) - ln(x + 2).
4. بالحدود: (2 ln 2 - ln 5) - (0 - ln 4).
5. بقوانين اللوغاريتمات: ln 3.2، أي نحو 1.163.

أخطاء شائعة تُفقد الدرجات

• نسيان + c في التكامل غير المحدد.
• الضرب في معامل x بدل القسمة: تكامل cos 3x هو (1/3) sin 3x.
• التعامل مع تكامل 1/x كأنه x^0/0، وهو في الحقيقة ln|x|.
• جمع مساحات فوق المحور وتحته في تكامل واحد فتلغي إحداهما الأخرى.
• اختيار u = e^x في التجزئة فيصبح التكامل أصعب.
• نسيان تحويل dx والحدود عند التعويض.
• تكامل حاصل الضرب على أنه حاصل ضرب التكاملين.

أسلوب الإجابة في الامتحان ودور المدرس

أسئلة التكامل تحمل عادة من ٥ إلى ١٠ درجات وتأتي غالبًا بعد جزء عن التفاضل أو الكسور الجزئية. اكتب الناتج بين قوسين مربعين مع الحدود قبل التعويض لتحصل على درجة الطريقة حتى لو أخطأت في الحساب. وأعطِ الجواب الدقيق مثل ln 3.2 عندما يطلب السؤال قيمة دقيقة.

في الحصة الفردية يعطي المدرس الطالب مجموعة متنوعة من التكاملات ويسأله فقط: أي طريقة ولماذا، قبل أي حساب. هذه العادة توفر معظم الوقت الضائع في الامتحان. ثم يتابع المدرس الحلول الكاملة على السبورة المشتركة ليلتقط أخطاء الإشارة والمعاملات التي تُفقد درجات الدقة.

اختبر نفسك

• أوجد تكامل (2x + 3)^4. (الجواب: (2x + 3)^5/10 + c)
• أوجد تكامل cos 3x. (الجواب: (1/3) sin 3x + c)
• أوجد تكامل sin^2 x من 0 إلى π/2. (الجواب: π/4)
• أوجد تكامل ln x بالتجزئة. (الجواب: x ln x - x + c)
• أوجد تكامل 2x/(x^2 + 1). (الجواب: ln(x^2 + 1) + c)