البرهان في رياضيات A Level: الاستنتاج والاستنفاد والمثال المضاد والتناقض

موقع البرهان في كل منهج

الأفكار الأساسية

البرهان بالاستنتاج يبدأ من التعريفات والنتائج المعروفة ويتقدم خطوة خطوة. استخدم الجبر لتمثيل الأعداد العامة: العدد الزوجي 2n، والفردي 2n + 1، والأعداد المتتالية n وn + 1 وn + 2. وتجربة بعض الأمثلة ليست برهانًا أبدًا لأنها لا تغطي كل الحالات.

البرهان بالاستنفاد يقسم المسألة إلى عدد محدود من الحالات تغطي كل الاحتمالات ثم يثبت كل حالة، مثل التقسيم إلى فردي وزوجي أو إلى 3m و3m + 1 و3m + 2. والنقض بمثال مضاد يحتاج حالة واحدة فقط تفشل فيها العبارة، معروضة بوضوح.

البرهان بالتناقض يفترض عكس المطلوب ويُظهر أن هذا يؤدي إلى أمر مستحيل. وبنيته ثابتة: اذكر الافتراض، واستنتج منه، واصل إلى تناقض، ثم اختم بأن الافتراض خاطئ وأن العبارة الأصلية صحيحة.

مثال محلول ١ (استنتاج واستنفاد): أثبت أن مربع أي عدد صحيح على الصورة 3k أو 3k + 1

1. كل عدد صحيح n يُكتب 3m أو 3m + 1 أو 3m + 2، وهذه الحالات تغطي كل الأعداد الصحيحة.
2. الحالة ١: (3m)^2 = 3(3m^2)، على الصورة 3k.
3. الحالة ٢: (3m + 1)^2 = 3(3m^2 + 2m) + 1، على الصورة 3k + 1.
4. الحالة ٣: (3m + 2)^2 = 9m^2 + 12m + 4 = 3(3m^2 + 4m + 1) + 1، على الصورة 3k + 1.
5. الخلاصة: في كل الحالات n^2 على الصورة 3k أو 3k + 1، فالنتيجة صحيحة لكل الأعداد الصحيحة.

مثال محلول ٢ (تناقض، إدكسل P4): أثبت أن sqrt2 عدد غير نسبي

1. نفترض العكس: sqrt2 = a/b حيث a وb عددان صحيحان لا عامل مشترك بينهما وb لا يساوي صفرًا.
2. بالتربيع: a^2 = 2b^2، إذن a^2 زوجي، ومنه a زوجي لأن مربع الفردي فردي.
3. نكتب a = 2c فيكون 4c^2 = 2b^2، أي b^2 = 2c^2، إذن b زوجي.
4. صار a وb زوجيين يشتركان في العامل 2، وهذا يناقض الافتراض.
5. الخلاصة: الافتراض خاطئ، إذن sqrt2 غير نسبي.

مثال محلول ٣ (مثال مضاد): انقض العبارة «n^2 - n + 1 عدد أولي لكل عدد صحيح موجب n»

1. n = 2 تعطي 3، وn = 3 تعطي 7، وn = 4 تعطي 13، وكلها أولية.
2. n = 5 تعطي 21 = 3 × 7، وهو ليس أوليًا.
3. الخلاصة: n = 5 مثال مضاد، فالعبارة خاطئة. (وn = 1 تعطي 1 وهو ليس أوليًا أيضًا.)

أخطاء شائعة تُفقد الدرجات

• تجربة بعض الأعداد واعتبار ذلك برهانًا.
• استخدام الحرف نفسه لعددين مختلفين، مثل كتابة عددين فرديين مختلفين 2n + 1 و2n + 1.
• عدم تغطية كل الحالات في برهان الاستنفاد.
• في برهان التناقض: عدم ذكر الافتراض بوضوح أو عدم توضيح ما يناقضه.
• إهمال الجملة الختامية، وكثيرًا ما تُخصص لها الدرجة الأخيرة.
• في إثبات المتطابقات: العمل على الطرفين معًا أو البدء من النتيجة.

أسلوب الإجابة في الامتحان ودور المدرس

اكتب البرهان بجمل كاملة تربطها كلمات مثل «إذن» و«وبالتالي»، وعرّف رموزك («ليكن n عددًا صحيحًا»)، وأظهر كل خطوة جبرية، واختم بجملة تعيد ما تم إثباته. أسئلة البرهان قليلة الدرجات غالبًا لكن تصحيحها صارم.

البرهان هو الموضوع الذي يحتاج فيه الطالب أكثر من غيره إلى من يقرأ كتابته. في الحصة الفردية يصحح المدرس براهين الطالب سطرًا سطرًا بلغة سلّم التصحيح، ويشير إلى التبرير الناقص أو الخطوة الغامضة، ويطلب إعادة الكتابة حتى يكتمل البرهان، ثم يتدرب الطالب على البراهين المعيارية حتى تصبح بنيتها تلقائية.

اختبر نفسك

• أثبت أن مجموع أي ثلاثة أعداد صحيحة متتالية يقبل القسمة على 3. (تلميح: n + (n + 1) + (n + 2) = 3(n + 1))
• أثبت أن حاصل ضرب عددين فرديين فردي. (تلميح: (2a + 1)(2b + 1) = 2(2ab + a + b) + 1)
• أوجد مثالًا مضادًا للعبارة «إذا كان n أوليًا فإن 2n + 1 أولي». (الجواب: n = 7 تعطي 15)
• اكتب السطر الأول لبرهان التناقض على لانهائية الأعداد الأولية. (الجواب: نفترض أن الأعداد الأولية منتهية العدد p1 وp2 حتى pn)
• أثبت أن (1 - cos 2x)/sin 2x ≡ tan x. (راجع صفحة المتطابقات المثلثية)