التفاضل في رياضيات A Level: القواعد والنقاط الحرجة والمماس

موقع التفاضل في كل منهج

طالب كامبريدج يقدّم الورقة ٢ (لمستوى AS فقط) أو الورقة ٣ (لـ A Level كاملًا) وليس كلتيهما. تأكد من المسار الذي تسجّل فيه المدرسة.

الأفكار الأساسية

المشتقة هي ميل المماس عند نقطة. مشتقة y = x^n هي nx^(n-1)، وتصلح لأي أس نسبي، لذلك حوّل الجذور والكسور إلى قوى أولًا: sqrt(x) = x^(1/2) و4/x^2 = 4x^(-2). الثوابت تبقى معاملات، والمجاميع تُشتق حدًا حدًا.

قاعدة السلسلة للدالة داخل دالة: إذا كان y = f(g(x)) فإن dy/dx = f'(g(x)) × g'(x)، أي اشتق الدالة الخارجية واترك الداخلية كما هي ثم اضرب في مشتقة الداخلية. قاعدة الضرب هي d(uv)/dx = u dv/dx + v du/dx، وقاعدة القسمة هي d(u/v)/dx = (v du/dx - u dv/dx)/v^2. ومن النتائج التي يجب حفظها: مشتقة e^x هي e^x، ومشتقة ln x هي 1/x، ومشتقة sin x هي cos x، ومشتقة cos x هي -sin x، ومشتقة tan x هي sec^2 x، مع قياس x بالراديان دائمًا.

عند النقطة الحرجة يكون dy/dx = 0؛ فإذا كانت المشتقة الثانية سالبة فهي قيمة عظمى، وإذا كانت موجبة فهي صغرى. ميل المماس عند x = a هو f'(a)، وميل العمودي هو -1/f'(a). ومعدلات التغير المرتبطة تستخدم قاعدة السلسلة مع الزمن: dA/dt = dA/dr × dr/dt. وفي التفاضل الضمني تُشتق الطرفين بالنسبة إلى x مع تذكّر أن مشتقة y^2 هي 2y dy/dx.

مثال محلول ١: أوجد النقاط الحرجة للمنحنى y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 وحدد نوعها

1. نشتق: dy/dx = 3x^2 - 12x + 9.
2. نضع dy/dx = 0 ونحلل: 3(x - 1)(x - 3) = 0، إذن x = 1 أو x = 3.
3. قيم y: عند x = 1 تكون y = 1 - 6 + 9 + 2 = 6، وعند x = 3 تكون y = 27 - 54 + 27 + 2 = 2.
4. المشتقة الثانية d2y/dx2 = 6x - 12. عند x = 1 قيمتها -6 (سالبة) فالنقطة (1, 6) عظمى، وعند x = 3 قيمتها 6 (موجبة) فالنقطة (3, 2) صغرى.
5. الجواب: قيمة عظمى عند (1, 6) وصغرى عند (3, 2)، ويؤكد ذلك رسم تقريبي لدالة تكعيبية معاملها الأول موجب.

مثال محلول ٢: المماس والعمودي للمنحنى y = sqrt(2x + 5) عند x = 2

1. نكتبها قوة: y = (2x + 5)^(1/2). عند x = 2 تكون y = 3، فالنقطة (2, 3).
2. قاعدة السلسلة: dy/dx = (1/2)(2x + 5)^(-1/2) × 2 = 1/sqrt(2x + 5).
3. الميل عند x = 2 هو 1/3.
4. المماس: y - 3 = (1/3)(x - 2)، أي x - 3y + 7 = 0. للتحقق: 2 - 9 + 7 = 0.
5. ميل العمودي -3، فمعادلته y - 3 = -3(x - 2)، أي y = -3x + 9.

مثال محلول ٣ (كامبريدج P2/P3 وإدكسل P4): ميل x^2 + y^2 = xy + 7 عند (3, 1)

1. نتحقق أن النقطة على المنحنى: 9 + 1 = 10 و3 × 1 + 7 = 10.
2. نشتق كل حد بالنسبة إلى x مع قاعدة الضرب للحد xy: 2x + 2y dy/dx = y + x dy/dx.
3. نجمع حدود dy/dx: dy/dx (2y - x) = y - 2x.
4. إذن dy/dx = (y - 2x)/(2y - x).
5. عند (3, 1): dy/dx = (1 - 6)/(2 - 3) = 5.

أخطاء شائعة تُفقد الدرجات

• نسيان معامل قاعدة السلسلة: مشتقة (3x - 1)^5 هي 15(3x - 1)^4 وليست 5(3x - 1)^4.
• اشتقاق sqrt(x) أو 1/x قبل كتابتهما على صورة قوى.
• عكس ترتيب البسط في قاعدة القسمة، فتنقلب إشارة الجواب كله.
• استخدام الدرجات بدل الراديان في مشتقات الدوال المثلثية.
• كتابة «عظمى» أو «صغرى» دون سبب؛ الدرجة تُعطى على قيمة المشتقة الثانية أو فحص الإشارة.
• في التفاضل الضمني: كتابة مشتقة y^2 على أنها 2y دون dy/dx، أو إهمال قاعدة الضرب في xy.
• إعطاء العمودي ميل المماس نفسه.

أسلوب الإجابة في الامتحان ودور المدرس

يظهر التفاضل في كل ورقة رياضيات بحتة تقريبًا، وغالبًا كجزء أول من سؤال أطول يطلب بعده مماسًا أو نقطة حرجة أو مساحة. اكتب المشتقة في سطر مستقل قبل التعويض، لأنها تحصل على درجة طريقة حتى لو أخطأت في الحساب بعدها. وفي أسئلة «أثبت أن» يجب أن تظهر كل خطوة، وفي أسئلة «ومن ثم» استخدم النتيجة السابقة بدل البدء من جديد.

في الحصة الفردية يحل المدرس مع الطالب على السبورة المشتركة ويحدد القاعدة التي تنهار تحت الضغط، وهي غالبًا قاعدة السلسلة داخل الضرب أو القسمة. ثم يعطي تدريبات قصيرة عليها، وبعدها أسئلة من أوراق سابقة يكون التفاضل فيها خطوة داخل مسألة أكبر، وتُصحَّح وفق سلّم التصحيح الرسمي ليرى الطالب أين تُمنح درجات الطريقة بالضبط.

اختبر نفسك

• اشتق y = 4/x^2 - 3sqrt(x). (الجواب: -8x^(-3) - (3/2)x^(-1/2))
• اشتق y = x^2 ln x. (الجواب: 2x ln x + x)
• اشتق y = sin x / x. (الجواب: (x cos x - sin x)/x^2)
• نصف قطر دائرة يزداد بمعدل 0.2 cm في الثانية. ما معدل زيادة المساحة عندما r = 5 cm؟ (الجواب: 2π، أي نحو 6.28 cm^2 في الثانية)
• أوجد النقطة الحرجة للمنحنى y = x^2 - 8x + 3 وحدد نوعها. (الجواب: (4, -13) صغرى)