التفاضل والتكامل في رياضيات IB AA: الاشتقاق والتكامل وعلم الحركة

ماذا يشمل التفاضل والتكامل في SL وHL

يتبع هذا الجدول دليل AA الحالي (التقييم الأول ٢٠٢١). يبدأ تقييم منهج الرياضيات الجديد في ٢٠٢٩، لذا يدرس طلاب امتحانات ٢٠٢٧ و٢٠٢٨ هذا المحتوى.

الأفكار الأساسية

المشتقة f'(x) هي ميل المنحنى عند نقطة، أي معدل التغير اللحظي. وتعود معظم أسئلة التفاضل إلى ثلاث قراءات لها: ميل المماس، ومكان تزايد الدالة أو تناقصها (إشارة f'(x))، ومكان انعطافها (f'(x) = 0). أما المشتقة الثانية فتصف التقعر، ونقطة الانعطاف هي حيث يتغير التقعر فعلًا، لا مجرد حيث f''(x) = 0.

التكامل عكس الاشتقاق. التكامل غير المحدد يحتاج إلى + C، والتكامل المحدد يعطي عددًا يمثل المساحة بإشارتها. المساحة تحت المحور السيني تخرج سالبة، لذا نقسم التكامل عند الجذر، أو نكامل |f(x)| على الحاسبة في الورقة الثانية.

علم الحركة هو التفاضل نفسه في سياق فيزيائي: السرعة مشتقة الإزاحة، والتسارع مشتقة السرعة. الإزاحة تكامل v والمسافة تكامل |v|، ولا تتساويان إلا إذا لم يغيّر الجسم اتجاهه.

مثال محلول ١: النقاط الحرجة للدالة f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1

1. نشتق: f'(x) = 3x^2 - 12x + 9.
2. نضع f'(x) = 0 ونحلل: 3(x - 1)(x - 3) = 0، إذن x = 1 أو x = 3.
3. نحسب القيم: f(1) = 5 وf(3) = 1.
4. نصنّف بالمشتقة الثانية f''(x) = 6x - 12: قيمة f''(1) = -6 سالبة، فالنقطة (1, 5) قيمة عظمى محلية، وf''(3) = 6 موجبة، فالنقطة (3, 1) قيمة صغرى محلية.
5. تحقق: نقطة الانعطاف عند x = 2 وتقع بين النقطتين، كما هو متوقع في الدالة التكعيبية.

مثال محلول ٢: اشتق y = x^2 e^(3x) وأوجد أين ينعدم الميل

1. هذه حاصل ضرب u × v حيث u = x^2 وv = e^(3x)، إذن u' = 2x وv' = 3e^(3x) بقاعدة السلسلة.
2. قاعدة الضرب: dy/dx = 2x e^(3x) + 3x^2 e^(3x).
3. نخرج العامل المشترك: dy/dx = x e^(3x)(2 + 3x).
4. بما أن e^(3x) لا يساوي صفرًا أبدًا، ينعدم الميل عند x = 0 أو x = -2/3.
5. تحقق: عند x = 0 تكون y = 0 والدالة لا تصبح سالبة أبدًا، فهي قيمة صغرى، وهذا يتفق مع انعدام الميل.

مثال محلول ٣: المساحة وعلم الحركة

1. المساحة: المنحنى y = 4x - x^2 يقطع المحور السيني عند x = 0 وx = 4.
2. التكامل من 0 إلى 4 للمقدار (4x - x^2) يساوي [2x^2 - x^3/3] = 32 - 64/3 = 32/3 وحدة مربعة. تحقق: مساحة القوس المكافئ تساوي ثلثي القاعدة × الارتفاع، أي (2/3) × 4 × 4 = 32/3.
3. الحركة: جسيم سرعته v(t) = 6t - 3t^2 م/ث حيث 0 <= t <= 3. الإزاحة = [3t^2 - t^3] من 0 إلى 3 = 27 - 27 = 0 م، أي عاد إلى نقطة البداية.
4. المسافة: تتغير إشارة v عند t = 2. التكامل من 0 إلى 2 يساوي 4، ومن 2 إلى 3 يساوي -4، فالمسافة المقطوعة 8 م.
5. في الورقة الثانية يمكن التحقق بتكامل |6t - 3t^2| من 0 إلى 3 على الحاسبة، والناتج 8 أيضًا.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• نسيان مشتقة الداخل في قاعدة السلسلة: مشتقة (2x + 1)^5 هي 10(2x + 1)^4.
• تصنيف النقطة الحرجة بقيمة y بدلًا من f''(x) أو تغيّر إشارة f'(x).
• اعتبار كل جذر للمشتقة الثانية نقطة انعطاف دون التحقق من تغيّر التقعر.
• نسيان + C، أو إضافتها إلى تكامل محدد.
• جمع المساحات بإشاراتها عندما تعبر المنطقة المحور السيني فتلغي بعضها.
• الخلط بين الإزاحة والمسافة في أسئلة الحركة.
• ضبط الحاسبة على الدرجات بدلًا من الراديان في أسئلة التفاضل.

أسلوب الامتحان وكيف يساعد المدرس

في الورقة الأولى تأتي الأسئلة مقسمة إلى أجزاء يبني بعضها على بعض: اشتق، ثم أوجد النقطة الحرجة، ثم استخدمها لحساب مساحة. إذا تعثرت في الجزء الأول فغالبًا يعطيك السؤال النتيجة المطلوب إثباتها، فاستخدمها وتابع. وفي الورقة الثانية قرر مبكرًا هل تستطيع الحاسبة أداء العمل، فالتكاملات العددية ونقاط التقاطع والقيم القصوى أسرع على الحاسبة.

اكتب المشتقة أو التكامل قبل الضغط على أي زر، لأن درجات الطريقة تعتمد على ذلك، وقرّب الإجابات إلى ثلاثة أرقام معنوية ما لم يُطلب غير ذلك.

في الدروس الفردية يراقب المدرس الطالب وهو يشتق على السبورة المشتركة ويلتقط الخطوة التي تتعثر بالضبط، وغالبًا تكون قاعدة السلسلة أو إشارة. ثم يعالجها بأسئلة مركزة عبر عدة دروس حتى تصبح تلقائية، ثم بأسئلة سنوات سابقة مختلطة. ويحتاج طلاب HL إلى تدريب منتظم على التكامل بالتجزئة والمعادلات التفاضلية.

اختبر نفسك

• اشتق y = (2x + 1)^5. (الإجابة: 10(2x + 1)^4)
• اشتق y = (ln x)/x. (الإجابة: (1 - ln x)/x^2)
• احسب التكامل من 1 إلى e للمقدار 1/x. (الإجابة: 1)
• أوجد معادلة المماس للمنحنى y = x^2 + 3x عند x = 1. (الإجابة: y = 5x - 1)
• أوجد تكامل cos(2x). (الإجابة: (1/2) sin(2x) + C)