الاحتمالات في رياضيات IB AA: الاحتمال الشرطي وذات الحدين والتوزيع الطبيعي

ماذا تشمل الاحتمالات في SL وHL

يتبع هذا الجدول دليل AA الحالي (التقييم الأول ٢٠٢١). ويشمل المحور نفسه إحصاءً مثل الانحدار والمقاييس الإحصائية، ولا تغطيها هذه الصفحة.

الأفكار الأساسية

الاحتمال الشرطي قلب هذا المحور. P(A|B) هو احتمال A علمًا بأن B قد وقع، فنحصر فضاء العينة في B. ويكون الحدثان مستقلين إذا كان P(A n B) = P(A) × P(B). أما التنافي فمختلف: يعني أن P(A n B) = 0، ولا يمكن لحدثين احتمالاهما غير صفريين أن يكونا متنافيين ومستقلين معًا.

المتغير العشوائي يعطي عددًا لكل نتيجة. في المتغير المنفصل يجب أن يكون مجموع الاحتمالات ١، والقيمة المتوقعة هي مجموع x × P(X = x). وتكون اللعبة عادلة إذا كان الربح المتوقع صفرًا.

توزيع ذات الحدين يعد النجاحات في n محاولة مستقلة لكل منها الاحتمال نفسه p. والتوزيع الطبيعي يصف بيانات متصلة تتجمع بتماثل حول المتوسط. الحاسبة تؤدي الحساب، لكن عليك ذكر التوزيع ومعالمه واختيار الأمر الصحيح.

مثال محلول ١: الاحتمال الشرطي وشجرة دون إرجاع

1. إذا كان P(A) = 0.5 وP(B) = 0.4 وP(A n B) = 0.2 فإن P(A|B) = 0.5 = P(A)، فالحدثان مستقلان، وP(A u B) = 0.7.
2. كيس فيه ٥ قطع حمراء و٣ زرقاء، نسحب قطعتين دون إرجاع. P(حمراوان) = 5/8 × 4/7 = 20/56 وP(زرقاوان) = 3/8 × 2/7 = 6/56.
3. P(اللون نفسه) = 26/56 = 13/28.
4. P(الأولى حمراء | اللون نفسه) = (20/56)/(26/56) = 10/13.
5. تحقق: P(لونان مختلفان) = 30/56، و26/56 + 30/56 = 1.

مثال محلول ٢: توزيع ذات الحدين

1. طالب يخمّن ١٠ أسئلة اختيار من متعدد، احتمال صحة كل منها 0.3. ليكن X عدد الإجابات الصحيحة، أي X ~ B(10, 0.3).
2. P(X = 2) = C(10, 2) × 0.3^2 × 0.7^8 = 0.233 (لثلاثة أرقام معنوية).
3. P(X <= 2) = 0.383. تحقق بالجمع: 0.0282 + 0.1211 + 0.2335 = 0.3828.
4. P(X >= 3) = 1 - 0.383 = 0.617. أسئلة «على الأقل» أسهل دائمًا عبر المتمم.
5. E(X) = np = 3 وVar(X) = np(1 - p) = 2.1.

مثال محلول ٣: التوزيع الطبيعي والقيمة المتوقعة

1. أطوال مجموعة H ~ N(170, 8^2) بالسنتيمتر. قيمة z للطول 180 هي 1.25، والحاسبة تعطي P(H > 180) = 0.106.
2. أوجد h بحيث يكون ٩٠٪ أقصر منه: الحساب العكسي يعطي z = 1.2816، إذن h = 170 + 1.2816 × 8 = 180 سم تقريبًا.
3. تحقق: الجزء الأول أظهر أن نحو ١٠٫٦٪ أطول من 180، وهذا يتفق مع النتيجة.
4. القيمة المتوقعة: متغير يأخذ القيم 0 و1 و2 باحتمالات k و2k و3k. المجموع ١ إذن k = 1/6.
5. E(X) = 0 + 2/6 + 6/6 = 4/3. تحقق: الناتج بين 0 و2 وأقرب إلى 2 حيث يتركز الاحتمال.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• عدم تعريف المتغير العشوائي أو توزيعه، وكتابة X ~ B(10, 0.3) تمنح درجة غالبًا.
• معاملة السحب دون إرجاع كأنه محاولات مستقلة.
• الخلط بين الاستقلال والتنافي.
• استخدام P(X < 3) عندما يقول السؤال «على الأكثر 3».
• إدخال التباين بدلًا من الانحراف المعياري في أمر التوزيع الطبيعي.
• تقريب الاحتمالات الوسيطة مبكرًا.
• الاكتفاء بكتابة أوامر الحاسبة دون عبارة احتمالية بترميز صحيح.

أسلوب الامتحان وكيف يساعد المدرس

ابدأ كل سؤال احتمالات بكتابة الحدث بالكلمات أو الرموز، وارسم مخطط فن أو شجرة كلما وُجد أكثر من حدث، فكثير من الدرجات للمخطط الصحيح. في الورقة الأولى تُختار الأرقام لتُحسب يدويًا، وفي الورقة الثانية تُستخدم الحاسبة والإجابات لثلاثة أرقام معنوية.

انتبه للصياغة: «علمًا بأن» تعني احتمالًا شرطيًا، و«على الأقل» توحي بالمتمم، و«المتوقع» تعني E(X).

في الدروس الفردية يطلب المدرس من الطالب تحديد التوزيع وسبب اختياره قبل أي حساب، فيعالج أكثر الأخطاء شيوعًا من جذوره. وتتناوب الدروس بين تدريبات قصيرة على أوامر الحاسبة وأسئلة سنوات سابقة مختلطة، مع تدريب طلاب HL على المتغيرات المتصلة حيث يلتقي الاحتمال بالتكامل.

اختبر نفسك

• P(A) = 0.6 وP(B) = 0.5 وP(A u B) = 0.8. أوجد P(A n B) وP(B|A). (الإجابة: 0.3 و0.5)
• X ~ B(8, 0.5). أوجد P(X = 4). (الإجابة: 70/256 = 0.273)
• X ~ B(20, 0.25). أوجد E(X) وVar(X). (الإجابة: 5 و3.75)
• Z ~ N(0, 1). أوجد P(-1 < Z < 1). (الإجابة: 0.683)
• رُمي حجر نرد منتظم. ما P(النتيجة > 4 | النتيجة زوجية)؟ (الإجابة: 1/3)