الإحصاء في رياضيات IB AI والآلة الحاسبة البيانية: الانحدار وسبيرمان ومربع كاي والتوزيع الطبيعي

أي أداة إحصائية تجيب عن أي سؤال

يضيف المستوى العالي HL إحصاءً إضافياً، منه اختبارات فرضيات أخرى وفترات الثقة. راجع قائمة موضوعات مدرستك لمستواك.

مثال محلول ١: خط الانحدار ومعامل بيرسون

البيانات: x = 1, 2, 3, 4, 5 و y = 2, 4, 5, 4, 5. أوجد خط انحدار y على x وقيمة r.

1. أدخل القائمتين في الآلة الحاسبة وشغّل الانحدار الخطي، فتعطي y = 0.6x + 2.2 و r = 0.775.
2. التحقق يدوياً: المتوسطان ٣ و٤، ومجموع (x - 3)(y - 4) يساوي ٦، ومجموع (x - 3)^2 يساوي ١٠، فالميل 6/10 = 0.6 والمقطع 4 - 0.6 × 3 = 2.2.
3. r = 6/sqrt(10 × 6) = 0.7746 أي 0.775 تقريباً، لأن مجموع (y - 4)^2 يساوي ٦.
4. التفسير: ارتباط خطي موجب قوي نسبياً. عند x = 3.5 يكون التنبؤ 4.3، وهو استيفاء داخل مدى البيانات فهو معقول.
5. لا تتنبأ عند x = 20، فهذا استقراء خارج المدى، ويتوقع المصحح أن تذكر أنه غير موثوق.

مثال محلول ٢: معامل سبيرمان للرتب

حصل خمسة طلاب على 56, 72, 64, 88, 80 في الرياضيات و 60, 70, 75, 85, 78 في الفيزياء. أوجد r_s.

1. رتّب كل قائمة تصاعدياً. رتب الرياضيات: 1, 3, 2, 5, 4. رتب الفيزياء: 1, 2, 3, 5, 4.
2. أدخل الرتب في الآلة الحاسبة واحسب r لها، فتكون r_s = 0.9.
3. التحقق بالقانون: الفروق d هي 0, 1, -1, 0, 0 ومجموع d^2 يساوي ٢، إذن r_s = 1 - 6 × 2/(5 × 24) = 0.9.
4. التفسير: توافق موجب قوي بين الترتيبين. يكشف سبيرمان أي علاقة متزايدة باستمرار وليس الخط المستقيم فقط.

مثال محلول ٣: اختبار مربع كاي للاستقلال

سُئل ١٠٠ طالب هل يفضلون المذاكرة صباحاً أم مساءً. في المجموعة X فضّل ٣٠ الصباح و٢٠ المساء، وفي المجموعة Y فضّل ٢٠ الصباح و٣٠ المساء. اختبر الاستقلال عند مستوى ٥٪.

1. الفرضيات: H0 التفضيل مستقل عن المجموعة، و H1 التفضيل غير مستقل عن المجموعة.
2. التكرارات المتوقعة: كل مجموع صف ٥٠ وكل مجموع عمود ٥٠، فكل قيمة متوقعة 50 × 50/100 = 25، وكلها لا تقل عن ٥ فالاختبار صالح.
3. درجات الحرية: (عدد الصفوف - 1)(عدد الأعمدة - 1) = 1.
4. الإحصاءة: كل خلية تعطي (O - E)^2/E = 1، فمربع كاي = 4، والآلة الحاسبة تعطي p = 0.0455.
5. الاستنتاج: بما أن 0.0455 أقل من 0.05 نرفض H0، أي يوجد دليل على أن التفضيل يعتمد على المجموعة. وبالقيمة الحرجة: 4 > 3.841 والقرار نفسه.

مثال محلول ٤: التوزيع الطبيعي

درجات اختبار تتبع X ~ N(65, 10^2).

1. P(X > 80): استخدم دالة التوزيع التراكمي بحد أدنى ٨٠ وحد أعلى كبير جداً ومتوسط ٦٥ وانحراف ١٠، فالناتج 0.0668. التحقق: z = 1.5 و P(Z > 1.5) = 0.0668.
2. الدرجة اللازمة لدخول أعلى ١٠٪: استخدم المعكوس الطبيعي بمساحة 0.9 إلى اليسار، فالناتج 77.8. التحقق: 65 + 1.2816 × 10 = 77.8.
3. اكتب دائماً التوزيع وعبارة الاحتمال مثل P(X > 80) = 0.0668، فالرقم المجرد بلا خطوات قد يضيّع درجة الطريقة.

أخطاء شائعة

• الخلط بين الانحراف المعياري والتباين: في N(65, 10^2) الانحراف المعياري ١٠ وليس ١٠٠.
• القول إن الارتباط يثبت السببية، والصحيح أنه يدل على علاقة فقط.
• كتابة H0 على أنها اعتماد المتغيرين، والصحيح أن H0 هي الاستقلال دائماً.
• مقارنة إحصاءة مربع كاي بقيمة p، والصحيح مقارنة كل قيمة بما يقابلها.
• التقريب المبكر: احتفظ بالقيم الكاملة حتى الإجابة النهائية.
• استخدام خط انحدار y على x للتنبؤ بقيمة x.

أسلوب الامتحان وكيف تساعد الدروس الفردية

معظم أسئلة الإحصاء في AI تكافئ الشكل نفسه: سمِّ الاختبار أو النموذج، واكتب مدخلات الآلة الحاسبة، وأعطِ الناتج بالدقة المطلوبة، ثم فسّره بجملة واحدة في سياق السؤال. درجة التفسير هي الأكثر ضياعاً، خاصة في الورقة الثانية.

يعمل المدرس الذي يدرّس AI على طراز الآلة الحاسبة نفسه الذي يستخدمه الطالب، فتُتدرَّب كل خطوة كما ستُستخدم في الامتحان. يجمع الدرس بين شرح قصير على السبورة المشتركة وأسئلة امتحانات سابقة يشرح فيها الطالب كل اختيار بصوت مسموع، ويحتفظ المدرس بقائمة الأخطاء المتكررة حتى تختفي.

اختبر نفسك

• إذا كانت x = 2, 4, 6, 8 و y = 3, 7, 9, 13 فأوجد خط انحدار y على x. (الإجابة: y = 1.6x والمقطع صفر)
• الرتب 1, 2, 3, 4 و 2, 1, 4, 3: أوجد r_s. (الإجابة: 0.6)
• جدول توافق ٣ في ٢: كم درجة حرية؟ (الإجابة: ٢)
• إذا كان X ~ N(50, 4^2) فأوجد P(X < 46). (الإجابة: 0.159)
• اشرح في جملة واحدة لماذا يكون التنبؤ بعيداً عن مدى البيانات غير موثوق.