الدوال في رياضيات IB AA: التركيب والدالة العكسية والتحويلات واللوغاريتمات

ماذا يشمل محور الدوال في SL وHL

يتبع هذا الجدول دليل AA الحالي (التقييم الأول ٢٠٢١). يبدأ تقييم منهج الرياضيات الجديد في ٢٠٢٩، وتعتمد امتحانات ٢٠٢٧ و٢٠٢٨ هذا المحتوى.

الأفكار الأساسية

الدالة تربط كل مدخل في مجالها بمخرج واحد فقط. المجال هو مجموعة المدخلات المسموح بها، والمدى هو مجموعة المخرجات التي تتحقق فعلًا. وتأتي معظم قيود المجال من ثلاثة مصادر: لا قسمة على صفر، ولا جذر تربيعي لعدد سالب، ولا لوغاريتم لصفر أو لعدد سالب.

التركيب (f o g)(x) يعني f(g(x)): نطبق g أولًا ثم f، والترتيب مهم. والدالة العكسية f^-1 تلغي أثر f، ولا توجد إلا إذا كانت f واحدًا لواحد، ورسمها انعكاس لرسم f في المستقيم y = x، ومجالها هو مدى f.

في التحويلات قاعدة تستحق الحفظ: ما داخل القوس يؤثر في x ويعمل عكس ما يبدو (f(x - 2) تنقل الرسم ٢ إلى اليمين)، وما خارجه يؤثر في y كما يبدو. والدالة الأسية واللوغاريتمية كل منهما عكس الأخرى، وقوانين اللوغاريتمات تحوّل الضرب إلى جمع.

مثال محلول ١: تركيب الدوال والدالة العكسية

1. إذا كانت f(x) = 2x + 3 وg(x) = x^2 - 1 فإن (f o g)(x) = 2(x^2 - 1) + 3 = 2x^2 + 1.
2. و(g o f)(x) = (2x + 3)^2 - 1 = 4x^2 + 12x + 8. تحقق عند x = 1: g(f(1)) = g(5) = 24، و4 + 12 + 8 = 24.
3. لإيجاد عكس h(x) = (2x + 1)/(x - 3) حيث x لا يساوي 3، نكتب y(x - 3) = 2x + 1.
4. نجمع حدود x: x(y - 2) = 3y + 1، إذن x = (3y + 1)/(y - 2).
5. نبدّل الرمزين: h^-1(x) = (3x + 1)/(x - 2) حيث x لا يساوي 2. تحقق: h(4) = 9 وh^-1(9) = 28/7 = 4. والقيمة المستبعدة 2 هي خط التقارب الأفقي للدالة h.

مثال محلول ٢: تحويل مركب

1. النقطة (1, 4) تقع على y = f(x). أوجد صورتها على y = 3f(x - 2) + 1.
2. داخل القوس: x - 2 انسحاب ٢ وحدة إلى اليمين، فتصبح النقطة (3, 4).
3. خارج القوس: المعامل 3 تمدد رأسي بمعامل ٣، فتصبح (3, 12).
4. ثم + 1 انسحاب وحدة إلى الأعلى، فتصبح (3, 13).
5. تحقق بالتعويض: عند x = 3 تكون y = 3f(1) + 1 = 13. والترتيب مهم، فالتمدد بعد إضافة ١ يعطي 15 خطأً.

مثال محلول ٣: معادلة أسية والمميز

1. حل 3^(2x) - 4 × 3^x + 3 = 0. لاحظ أن 3^(2x) = (3^x)^2، فنضع u = 3^x.
2. تصبح المعادلة u^2 - 4u + 3 = 0 أي (u - 1)(u - 3) = 0، إذن u = 1 أو u = 3.
3. إذن x = 0 أو x = 1. تحقق: عند x = 1 نجد 9 - 12 + 3 = 0، وعند x = 0 نجد 1 - 4 + 3 = 0.
4. المميز: متى يكون للمعادلة kx^2 + 4x + 1 = 0 جذران حقيقيان مختلفان؟ نحتاج 16 - 4k > 0 أي k < 4.
5. ولا يمكن أن تكون k صفرًا وإلا لم تعد المعادلة تربيعية. الإجابة: k < 4 وk لا تساوي 0.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• عكس ترتيب التركيب: (f o g)(x) تعني تطبيق g أولًا.
• كتابة الدالة العكسية دون مجالها، أو إعطاء مجال f بدلًا من مداها.
• تحريك الرسم إلى اليسار عند f(x - 2)، والصحيح إلى اليمين.
• تطبيق التمدد الرأسي والانسحاب بترتيب خاطئ.
• تجزئة اللوغاريتم خطأً: ln(a + b) لا تساوي ln a + ln b.
• الإبقاء على حلول تجعل اللوغاريتم غير معرّف.
• نسيان أن معامل x^2 لا يمكن أن يكون صفرًا في أسئلة المميز.

أسلوب الامتحان وكيف يساعد المدرس

كثيرًا ما تفتتح الدوال سؤالًا طويلًا: أوجد العكس، اذكر مجاله، ثم ارسم الدالتين. تُصحح الرسوم على الخصائص الرئيسية، فاكتب نقاط التقاطع وخطوط التقارب بخط متقطع مع معادلاتها. وفي الورقة الثانية استخدم الحاسبة لإيجاد نقاط التقاطع، لكن اكتب ما وجدته وكيف.

إذا قال السؤال «ومن ثم» فاستخدم الجزء السابق، وإذا طلب إجابة دقيقة فأبقِ اللوغاريتمات والكسور كما هي.

في الدروس الفردية يطلب المدرس من الطالب شرح كل تحويل بصوت مسموع وهو يرسم على السبورة المشتركة، فيظهر الخلط بين الداخل والخارج بسرعة. ثم تمزج الدروس بين تدريبات قصيرة على الدوال العكسية وقوانين اللوغاريتمات وأسئلة سنوات سابقة، مع تدريب طلاب HL على جذور كثيرات الحدود ومتباينات القيمة المطلقة.

اختبر نفسك

• إذا كانت f(x) = x^2 وg(x) = x + 3 فأوجد f(g(-1)). (الإجابة: 4)
• أوجد عكس f(x) = e^x - 2 ومجاله. (الإجابة: ln(x + 2) حيث x > -2)
• اذكر خطوط التقارب للدالة y = (x + 1)/(2x - 4). (الإجابة: x = 2 وy = 1/2)
• حل log_2(x) + log_2(x - 2) = 3. (الإجابة: x = 4، ونرفض x = -2)
• اكتب y = 2x^2 - 8x + 5 بصيغة الرأس. (الإجابة: y = 2(x - 2)^2 - 3، والرأس (2, -3))