النمذجة في رياضيات IB AI: اختيار النموذج وملاءمته والحكم عليه

طابِق السلوك مع النموذج

مثال محلول ١: نموذج أسي من نقطتين

مستعمرة فيها ٥٠ بكتيريا عند t = 0 ساعة و٧٢ عند t = 2. نمذج العدد بالصيغة P = a × b^t.

1. عند t = 0 يكون P = a، إذن a = 50.
2. عند t = 2: 72 = 50b^2، إذن b^2 = 1.44 و b = 1.2 لأن b موجبة.
3. النموذج: P = 50 × 1.2^t، ومعنى b أن العدد يزيد ٢٠٪ كل ساعة.
4. التنبؤ عند t = 5: 50 × 2.48832 = 124 بكتيريا تقريباً.
5. التحقق: P(2) = 50 × 1.44 = 72 وهو مطابق للبيانات.
6. الحكم على النموذج: لا يستمر النمو الأسي إلى الأبد لأن الغذاء والمكان محدودان، فالتنبؤ البعيد غير موثوق، وهنا يتفوق النموذج اللوجستي في HL.

مثال محلول ٢: نموذج تربيعي ومجاله

ارتفاع كرة بالمتر h(t) = -5t^2 + 20t + 1.5 حيث t الزمن بالثواني.

1. أقصى ارتفاع: محور التماثل t = -20/(2 × -5) = 2، و h(2) = 21.5 م.
2. متى تسقط الكرة؟ حل المعادلة -5t^2 + 20t + 1.5 = 0 بالآلة الحاسبة: t = 4.07 أو t = -0.0736.
3. ارفض الجذر السالب لأن الزمن يبدأ من الصفر. التحقق بالقانون العام: t = (20 + sqrt(430))/10 = 4.07.
4. اذكر المجال: 0 ≤ t ≤ 4.07، فخارجه يعطي النموذج ارتفاعات سالبة بلا معنى.

مثال محلول ٣: نموذج جيبي

يتراوح عمق الماء في ميناء بين ٣ م و٩ م، والمد العالي عند t = 4 ساعات، وتتكرر الدورة كل ١٢ ساعة. أوجد h(t) = a sin(b(t - c)) + d.

1. السعة a = (9 - 3)/2 = 3، والمحور الرئيسي d = (9 + 3)/2 = 6.
2. الدورة ١٢، إذن b = 2π/12 = π/6، واعمل بالراديان.
3. يبلغ منحنى الجيب قمته بعد ربع دورة من بدايته، وربع ١٢ هو ٣، والقمة عند t = 4، إذن c = 1.
4. النموذج: h(t) = 3 sin((π/6)(t - 1)) + 6.
5. التحقق: h(4) = 9 و h(10) = 3، وكلاهما مطابق.

ملاءمة النماذج للبيانات بالآلة الحاسبة

عندما يعطي السؤال جدول بيانات، تلائم قائمة الانحدار في الآلة الحاسبة النماذج الخطية والتربيعية والتكعيبية والأسية والقوى والجيبية. أدخل البيانات واختر العائلة واكتب النموذج بثلاثة أرقام معنوية، ثم استخدم النموذج لا البيانات الخام في التنبؤ. وإذا سأل السؤال أي نموذج أفضل، فقارن جودة الملاءمة مثل معامل التحديد R^2 إن كان ضمن مستواك، وقارن الشكل أيضاً، فالنموذج الذي يطابق النقاط لكنه يتنبأ بشيء مستحيل خارجها ليس الأفضل.

في المستوى HL يمكن تحويل البيانات الأسية أو بيانات القوى إلى خط مستقيم بأخذ اللوغاريتمات، ويدرس الطالب النمذجة بالمعادلات التفاضلية، ومنها حقول الميل وطريقة أويلر والأنظمة المترابطة، وغالباً ما تبني الورقة ٣ نموذجاً كاملاً في سؤال واحد طويل.

أخطاء شائعة

• استخدام الدرجات في النماذج الجيبية، والصحيح ضبط الآلة على الراديان ما لم يُذكر غير ذلك.
• إهمال المجال أو عدم رفض جذر بلا معنى في السياق مثل الزمن السالب.
• تقريب المعاملات مبكراً ثم استخدام النموذج المقرّب.
• تفسير المعامل تفسيراً مبهماً، فعبارة يزيد العدد ٢٠٪ كل ساعة أفضل من عبارة b هي النمو.
• الاستقراء بعيداً عن البيانات دون تعليق.

أسلوب الامتحان وكيف تساعد الدروس الفردية

تسير أسئلة النمذجة عادة بالترتيب نفسه: الإعداد، ثم إيجاد المعاملات، ثم التنبؤ، ثم التفسير، ثم النقد. الجزءان الأخيران قصيران لكن لهما درجات يضيّعها الطلاب بالاكتفاء بالأرقام، فاختم كل سؤال بجملة عن معنى الإجابة وجملة عن حد من حدود النموذج.

في الدروس يعطي المدرس الذي يدرّس AI الطالب موقفاً حقيقياً ويطلب منه اختيار النموذج قبل أي حساب ثم الدفاع عن اختياره، على السبورة المشتركة وبالآلة الحاسبة الخاصة بالطالب. هذه العادة تجعل سياقات الورقة الثانية غير المألوفة والورقة الثالثة في HL أسهل، وتخدم مشروع الاستكشاف مباشرة.

اختبر نفسك

• سيارة قيمتها 30000 تفقد ١٥٪ من قيمتها سنوياً. اكتب نموذجاً وأوجد قيمتها بعد ٤ سنوات. (الإجابة: V = 30000 × 0.85^t أي 15700 تقريباً)
• أوجد الرأس للدالة h(t) = -4.9t^2 + 14.7t. (الإجابة: t = 1.5 و h = 11.025)
• نموذج جيبي قيمته العظمى ٢٠ والصغرى ٨. أوجد a و d. (الإجابة: a = 6 و d = 14)
• لماذا قد يفشل نموذج خطي لطول طفل مقابل عمره عند عمر ٣٠ سنة؟