التفاضل والتكامل في رياضيات الصف الثاني عشر CBSE: ٣٥ درجة وخمسة فصول

درجات وحدات رياضيات الصف الثاني عشر ٢٠٢٦-٢٠٢٧

المصدر: منهج الرياضيات (041) في CBSE لعام ٢٠٢٦-٢٠٢٧. ينص تصميم الورقة على عدم وجود درجات محددة لكل فصل وعلى تغطية جميع الفصول.

محتوى فصول التفاضل والتكامل الخمسة في ٢٠٢٦-٢٠٢٧

مثال محلول ١: القيم العظمى والصغرى

أوجد القيم العظمى والصغرى المحلية للدالة f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1.

1. المشتقة: f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3).
2. النقاط الحرجة حيث f'(x) = 0: ‏x = ١ و x = ٣.
3. المشتقة الثانية f''(x) = 6x - 12. عند x = ١ تكون f''(1) = -٦ < ٠ فهي عظمى محلية، وعند x = ٣ تكون f''(3) = ٦ > ٠ فهي صغرى محلية.
4. القيم: f(1) = ١ - ٦ + ٩ + ١ = ٥ (عظمى محلية)، و f(3) = ٢٧ - ٥٤ + ٢٧ + ١ = ١ (صغرى محلية).

مثال محلول ٢: التكامل بالتجزئة

احسب تكامل x e^x من ٠ إلى ١.

1. اختر u = x (تبسط عند الاشتقاق) و dv = e^x dx، فيكون du = dx و v = e^x.
2. بالتجزئة: تكامل x e^x dx = x e^x - تكامل e^x dx = e^x(x - 1) + C.
3. بالتعويض بالحدود: [e^x(x - 1)] من ٠ إلى ١ = e(0) - e^0(-1) = ٠ + ١ = ١.
4. الإجابة ١ تمامًا، والتحقق العددي من المساحة يتفق معها.

مثال محلول ٣: معادلة تفاضلية خطية

حل dy/dx + y = e^(-x) علمًا أن y = ٢ عندما x = ٠.

1. المعادلة خطية فيها P = ١ و Q = e^(-x)، وعامل التكامل e^x.
2. بالضرب: e^x dy/dx + e^x y = ١، والطرف الأيسر هو مشتقة y e^x.
3. بالتكامل: y e^x = x + C، إذن y = (x + C) e^(-x).
4. من y(0) = ٢ نجد C = ٢، فالحل الخاص y = (x + 2) e^(-x).
5. تحقق: dy/dx = e^(-x) - (x + 2)e^(-x)، وبإضافة y نحصل على e^(-x). صحيح.

مثال محلول ٤: الاشتقاق الضمني

أوجد dy/dx للمنحنى x^2 + y^2 = 25 عند النقطة (٣، ٤).

1. اشتق الطرفين بالنسبة إلى x: ‏2x + 2y (dy/dx) = 0.
2. إذن dy/dx = -x/y.
3. عند (٣، ٤): ‏dy/dx = -٣ ÷ ٤، وهو ميل المماس للدائرة عند هذه النقطة، وهو عمودي على نصف القطر الذي ميله ٤ ÷ ٣ كما هو متوقع.

أخطاء شائعة تكلف درجات

• حذف ثابت التكامل في التكامل غير المحدد، أو إبقاؤه في التكامل المحدد.
• اختيار u وdv بالعكس في التكامل بالتجزئة فيصبح التكامل أصعب.
• ذكر القيمة العظمى دون تبريرها باختبار المشتقة الأولى أو الثانية.
• أسئلة المساحة: عدم رسم المنطقة، فيُكامل الطالب الدالة الخطأ أو بين حدود خاطئة.
• المعادلات التفاضلية: نسيان القسمة لجعل معامل dy/dx واحدًا قبل إيجاد عامل التكامل.
• أخطاء قاعدة السلسلة مع الدوال المثلثية العكسية واللوغاريتمية، كاشتقاق log(sin x) إلى 1/sin x بدل cot x.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

يضم النموذج الاسترشادي لعام ٢٠٢٦-٢٠٢٧ ‏٣٨ سؤالًا: ١٨ سؤال اختيار من متعدد وسؤالا تأكيد وسبب بدرجة لكل منها، و٥ أسئلة بدرجتين، و٦ بثلاث درجات، و٤ أسئلة طويلة بخمس درجات، و٣ دراسات حالة بأربع درجات. ويظهر التفاضل والتكامل في كل المستويات، فالسرعة في المشتقات والتكاملات القياسية في القسم A توفر وقتًا للأسئلة الطويلة. واكتب الحل سطرًا سطرًا، فمخططات التصحيح تمنح درجات للخطوات. ويضع تصميم الورقة ٤٤ درجة للتذكر والفهم، و٢٠ للتطبيق، و١٦ للتحليل والتقييم والإبداع.

في الدروس الفردية يتابع المدرس خطوات الحل على السبورة المشتركة ويحدد الخطوة التي تفشل، سواء كانت اختيار التعويض، أو صياغة مسألة القيم القصوى من نص لفظي، أو رسم منطقة المساحة. ثم يعطي أسئلة قصيرة مركزة على تلك الخطوة قبل الانتقال إلى أسئلة كاملة على نمط البورد. والتفاضل والتكامل أساس اختبارات القبول في الهندسة أيضًا، فيمكن أن تتجاوز الدروس مستوى البورد عند الحاجة.

اختبر نفسك

• اشتق y = sin^(-1)(2x). (الإجابة: 2/sqrt(1 - 4x^2))
• أوجد تكامل 1/(x^2 + 9) dx. (الإجابة: (1/3) tan^(-1)(x/3) + C)
• أوجد المساحة تحت y = x^2 من x = ٠ إلى x = ٣. (الإجابة: ٩ وحدات مربعة)
• أوجد رتبة ودرجة المعادلة (d2y/dx2)^2 + dy/dx = 0. (الإجابة: الرتبة ٢ والدرجة ٢)
• هل الدالة f(x) = e^x متزايدة لكل x؟ علّل. (الإجابة: نعم، لأن f'(x) = e^x > 0)