المعادلات التربيعية في رياضيات IGCSE: التحليل والقانون العام وإكمال المربع

ما يطلبه كل مستوى

الأفكار الأساسية

تقوم كل الطرق على حقيقة واحدة: إذا كان حاصل ضرب عددين صفرًا فأحدهما على الأقل صفر. فإذا وصلت إلى (x - 3)(x + 5) = 0 كان x = 3 أو x = -5. وهذا لا يصح إلا إذا كان أحد الطرفين صفرًا، لذلك تبدأ دائمًا بإعادة الترتيب.

التحليل أسرع طريقة حين ينجح: ابحث عن عددين حاصل ضربهما c ومجموعهما b. وإذا لم يكن a يساوي ١ فاضرب a في c، وجد عددين حاصل ضربهما ac ومجموعهما b، ثم جزّئ الحد الأوسط وحلّل على مرحلتين.

القانون العام يصلح لكل معادلة تربيعية. اكتب قيم a وb وc بإشاراتها قبل التعويض، واحسب المميز b^2 - 4ac أولًا: إذا كان سالبًا فلا حلول حقيقية.

إكمال المربع يحوّل x^2 + bx + c إلى (x + b/2)^2 - (b/2)^2 + c، فيعطي حلولًا دقيقة ويعطي أيضًا نقطة رأس المنحنى، وهو ما يطلبه منهج كامبريدج الموسّع.

مثال محلول ١: حلّ 6x^2 - 5x - 6 = 0 بالتحليل

1. هنا ac = -36، والعددان اللذان حاصل ضربهما ٣٦- ومجموعهما ٥- هما ٩- و٤.
2. نجزّئ الحد الأوسط: 6x^2 - 9x + 4x - 6 = 0.
3. نحلّل على مرحلتين: (3x + 2)(2x - 3) = 0.
4. الحلان: x = -2/3 أو x = 3/2.
5. للتحقق نعوّض x = 1.5 فنحصل على 13.5 - 7.5 - 6 = 0.

مثال محلول ٢: حلّ 2x^2 + 3x - 7 = 0 لأقرب منزلتين عشريتين

1. a = 2 وb = 3 وc = -7.
2. المميز: 9 + 56 = 65، وهو موجب لكنه ليس مربعًا كاملًا، فنستخدم القانون العام.
3. x = (-3 ± sqrt(65))/4.
4. الجواب: x = 1.27 أو x = -2.77.

مثال محلول ٣: أكمل المربع لحل x^2 + 6x - 4 = 0 حلًا دقيقًا

1. نصف ٦ هو ٣، إذن x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9.
2. تصبح المعادلة (x + 3)^2 = 13.
3. x + 3 = ± sqrt(13)، إذن x = -3 + sqrt(13) أو x = -3 - sqrt(13).
4. ونقطة رأس المنحنى y = x^2 + 6x - 4 هي (-3, -13).

مثال محلول ٤: معادلة تربيعية من مسألة

1. مستطيل طوله يزيد على عرضه ٣ سم ومساحته ٤٠ سم مربع. ليكن العرض x.
2. المعادلة: x(x + 3) = 40، أي x^2 + 3x - 40 = 0.
3. بالتحليل: (x + 8)(x - 5) = 0.
4. نرفض x = -8 لأن الطول لا يكون سالبًا، فالمستطيل ٥ سم في ٨ سم.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• القسمة على x وضياع حل: المعادلة x^2 = 5x حلاها ٠ و٥.
• عدم جعل أحد الطرفين صفرًا قبل التحليل.
• أخطاء الإشارة في القانون العام، خاصة في -b حين تكون b سالبة.
• تقريب الجذر مبكرًا فيتغير الرقم المعنوي الثالث.
• أخذ الجذر الموجب فقط عند إكمال المربع.
• عدم رفض الحل السالب في مسألة طول أو زمن مع ذكر السبب.

مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس

إذا طلب السؤال الإجابة لأقرب منزلتين عشريتين فهذا يعني أن المعادلة لن تُحلل، فاذهب مباشرة إلى القانون العام واكتب سطر التعويض لأنه يحمل درجة الطريقة. وفي الورقة الثانية من كامبريدج، وهي بلا آلة حاسبة، توقّع التحليل أو إجابات جذرية.

في الدرس الفردي يكتشف المدرس غالبًا أن الصعوبة ليست في القانون نفسه بل في التحليل حين لا يكون a مساويًا ١، أو في تكوين المعادلة من نص المسألة، فيمزج التدريب المركّز على هذه الخطوة مع أسئلة امتحانات سابقة تختبئ فيها المعادلة التربيعية داخل مسألة مساحة أو سرعة.

اختبر نفسك

• حلّ x^2 + x - 30 = 0. (الجواب: x = 5 أو x = -6)
• حلّ x(3x - 2) = 5. (الجواب: x = 5/3 أو x = -1)
• اكتب 2x^2 + 6x - 1 على الصورة a(x + b)^2 + c. (الجواب: 2(x + 1.5)^2 - 5.5)
• حلّ x^2 - 4x - 1 = 0 لأقرب منزلتين عشريتين. (الجواب: 4.24 أو -0.24)
• اشرح كيف يخبرك المميز بوجود حلول حقيقية.