باختصار
- المنهج
- كامبريدج IGCSE الرياضيات الإضافية 0606، القسم ١٤
- الأوراق
- الأولى بدون آلة، والثانية بآلة: ساعتان و٨٠ درجة لكل منهما
- القوانين
- لا يُعطى أي قانون للتفاضل والتكامل
- الزوايا
- بالراديان في كل تفاضل مثلثي
المشتقات والتكاملات المطلوبة
| الدالة | المشتقة | التكامل (أضف + c) |
|---|---|---|
| x^n | nx^(n-1) | x^(n+1)/(n + 1) حيث n ≠ -1 |
| (ax + b)^n | an(ax + b)^(n-1) | (ax + b)^(n+1)/(a(n + 1)) حيث n ≠ -1 |
| e^(ax + b) | ae^(ax + b) | (1/a)e^(ax + b) |
| ln x | 1/x | غير مطلوب |
| 1/(ax + b) | -a/(ax + b)^2 | (1/a) ln(ax + b) |
| sin(ax + b) | a cos(ax + b) | -(1/a) cos(ax + b) |
| cos(ax + b) | -a sin(ax + b) | (1/a) sin(ax + b) |
| tan x | sec^2 x | تكامل sec^2(ax + b) هو (1/a) tan(ax + b) |
بناءً على البنود 14.3 و14.11 و14.12 من منهج 0606، والزوايا بالراديان، ولا يُطبع أي منها في ورقة الامتحان.
الأفكار الأساسية
قاعدة السلسلة لاشتقاق دالة داخل دالة: dy/dx = dy/du × du/dx، أي اشتق الخارج وأبقِ الداخل ثم اضرب في مشتقة الداخل. وقاعدة الضرب d(uv)/dx = u dv/dx + v du/dx، وقاعدة القسمة (v du/dx - u dv/dx)/v^2.
في التطبيقات تكون المشتقة ميلًا أو معدلًا: المماس ميله dy/dx، والعمودي ميله -1 ÷ (dy/dx). والنقاط الحرجة عند dy/dx = 0، والمشتقة الثانية تحدد نوعها مع تبرير كامل. ومعدلات التغير المرتبطة بقاعدة السلسلة: dV/dt = dV/dr × dr/dt، والتغيرات الصغيرة δy ≈ (dy/dx) δx.
التكامل عكس التفاضل، فكل تكامل غير محدد يحتاج + c. والتكامل المحدد يعطي عددًا، والمساحة بين المنحنى ومحور x هي التكامل بين الحدين.
في الحركة: v = ds/dt وa = dv/dt، وعكسيًا نكامل التسارع للسرعة والسرعة للإزاحة مع إيجاد الثابت من الشروط المعطاة.
مثال محلول ١: قواعد السلسلة والضرب والقسمة
- السلسلة: y = (3x^2 + 4)^(1/3) فإن dy/dx = 2x(3x^2 + 4)^(-2/3).
- الضرب: y = x^2 e^(3x) فإن dy/dx = xe^(3x)(3x + 2).
- القسمة: y = (ln x)/x فإن dy/dx = (1 - ln x)/x^2.
- النقطة الحرجة عند ln x = 1 أي x = e وy = 1/e، والميل يتغير من موجب إلى سالب فهي عظمى.
مثال محلول ٢: المماس والعمودي ومعدلات التغير
- المنحنى y = x^3 - 2x عند x = 2: y = 4 وdy/dx = 10.
- المماس: y = 10x - 16.
- العمودي: ميله -1/10، ومعادلته x + 10y = 42.
- كرة يزيد نصف قطرها بمعدل ٠٫٢ سم/ث: عند r = 5 يكون dV/dt = 4π(25) × 0.2 = 20π أي نحو ٦٢٫٨ سم مكعب/ث.
مثال محلول ٣: التكامل والمساحة والحركة
- المساحة بين y = 6x - x^2 ومحور x من ٠ إلى ٦: تكامل الدالة 3x^2 - x^3/3، والقيمة 108 - 72 = 36 وحدة مربعة.
- تكامل sin(2x + 1) هو -(1/2) cos(2x + 1) + c، وتكامل 1/(2x + 3) هو (1/2) ln(2x + 3) + c.
- مثال المنهج: v = 3t^2 - 30t + 72، إذن a = 6t - 30، وعند t = 2 يكون a = -18.
- يسكن الجسيم عند t = 4 أو t = 6، والإزاحة من ٠ إلى ٤ تساوي ١١٢ م.
أخطاء شائعة تضيّع الدرجات
- الآلة الحاسبة على الدرجات في التفاضل المثلثي، والصحيح الراديان دائمًا.
- نسيان الضرب في مشتقة الداخل في قاعدة السلسلة.
- عكس ترتيب البسط في قاعدة القسمة.
- نسيان + c في التكامل غير المحدد، والمنهج ينص عليه صراحة.
- اعتبار المساحة تحت محور x موجبة دون معالجة الإشارة.
- الحكم بالعظمى أو الصغرى دون تبرير كامل.
مهارات الامتحان وكيف يساعد المدرس
لأن قوانين التفاضل والتكامل لا تُعطى فيجب حفظ الجدول أعلاه مع القواعد. وفي الورقة الأولى بلا آلة تُترك الإجابات غالبًا دقيقة بدلالة e أو ln أو π. اكتب القاعدة التي تستخدمها قبل تطبيقها، وقد حُدّثت معايير التصحيح في منهج ٢٠٢٥ إلى ٢٠٢٧ لتمنح درجات أكثر على خطوات الحل، فالعمل الواضح أهم من قبل.
طلاب الرياضيات الإضافية أقوياء عادةً في رياضيات IGCSE، لكن التفاضل مع e وln والدوال المثلثية أرض جديدة والوتيرة في المدرسة سريعة. في الدرس الفردي يتمهل المدرس عند القاعدة غير المتقنة، ويبني الطلاقة بمجموعات قصيرة مختلطة، ثم ينتقل إلى أسئلة امتحانات سابقة كاملة.
اختبر نفسك
- اشتق sin 3x. (الجواب: 3 cos 3x)
- اشتق e^(2x). (الجواب: 2e^(2x))
- كامل 4x^3 + 2. (الجواب: x^4 + 2x + c)
- احسب تكامل 3x^2 من x = 1 إلى x = 2. (الجواب: ٧)
- للدالة y = x^3 قدّر التغير في y حين تزيد x من ٢ إلى ٢٫٠١. (الجواب: نحو ٠٫١٢)
أسئلة شائعة
ما الفرق بين تفاضل الرياضيات الإضافية ورياضيات IGCSE؟
رياضيات 0580 الموسّع تشتق قوى x فقط وتجد النقاط الحرجة، أما 0606 فتضيف الدوال المثلثية والأسية واللوغاريتمية وقواعد السلسلة والضرب والقسمة ومعدلات التغير والتكامل مع المساحات والحركة.
هل تُعطى قوانين التفاضل والتكامل في امتحان 0606؟
لا. ينص المنهج على أن قائمة الصيغ لا تتضمن أي قانون لقسم التفاضل والتكامل.
هل في الرياضيات الإضافية ورقة بدون آلة حاسبة؟
نعم. لامتحانات ٢٠٢٥ و٢٠٢٦ و٢٠٢٧ الورقة الأولى بدون آلة والثانية بآلة علمية، ولكل منهما ساعتان و٨٠ درجة و٥٠٪.
لماذا أحتاج الراديان؟
لأن مشتقات sin وcos وtan الواردة في المنهج لا تصح إلا بالراديان، والمنهج ينص على أن الزوايا في التفاضل المثلثي بالراديان دائمًا.
هل تساعد LiveTutor في الرياضيات الإضافية IGCSE؟
نعم، مع مدرسين يدرّسون هذا المقرر. الدروس فردية أونلاين مدتها ٦٠ دقيقة بسعر ١٥ $ للدرس، والدرس الأول تجربة مجانية قبل اختيار الخطة.
المصادر
التواريخ والأرقام في هذه الصفحة مأخوذة من هذه المصادر الرسمية والمنشورة. تأكد دائماً من المواعيد النهائية في الصفحة الرسمية قبل الاعتماد عليها.