مفكوك ذات الحدين في رياضيات A Level: الأسس الموجبة والمتسلسلة العامة

موقع مفكوك ذات الحدين في كل منهج

الأفكار الأساسية

لعدد صحيح موجب n: (a + b)^n = a^n + nC1 a^(n-1) b + nC2 a^(n-2) b^2 + ... + b^n. تنقص قوى a واحدًا في كل حد وتزيد قوى b واحدًا، ومجموعهما دائمًا n. والمعامل nCr = n!/(r!(n - r)!)، ولإيجاد حد بعينه يكفي النمط nCr a^(n-r) b^r.

لغير ذلك من قيم n تعمل المتسلسلة فقط إذا كان الحد الأول 1: (1 + x)^n = 1 + nx + n(n - 1)x^2/2! + ... ولا تنتهي. لذلك أخرج العامل أولًا: (4 + x)^(1/2) = 2(1 + x/4)^(1/2)، ثم ضع x/4 مكان x في كل مكان، بما في ذلك داخل القوى.

المتسلسلة غير المنتهية تتقارب فقط عندما يكون الجزء المكان x أصغر من 1 بالقيمة المطلقة. في (1 + x/4)^(1/2) يعني ذلك |x| < 4. والأسئلة تطلب غالبًا ذكر هذا المدى أو استخدام المفكوك لتقدير قيمة مثل sqrt(4.1).

مثال محلول ١: معامل x^3 في (2 + 3x)^5

1. الحد العام 5Cr × 2^(5 - r) × (3x)^r، ولـ x^3 نأخذ r = 3.
2. 5C3 = 10 و2^2 = 4 و(3x)^3 = 27x^3.
3. الضرب: 10 × 4 × 27 = 1080.
4. الجواب: المعامل 1080. والخطأ الشائع استخدام 3 بدل 27.

مثال محلول ٢ (كامبريدج P3 وإدكسل P4): فك sqrt(4 + x) حتى x^3 وقدّر sqrt(4.1)

1. نخرج العامل: sqrt(4 + x) = 2(1 + x/4)^(1/2).
2. المتسلسلة مع n = 1/2 وx/4 مكان x: 1 + (1/2)(x/4) + (1/2)(-1/2)/2 × (x/4)^2 + (1/2)(-1/2)(-3/2)/6 × (x/4)^3.
3. بالتبسيط: 1 + x/8 - x^2/128 + x^3/1024.
4. بالضرب في 2: 2 + x/4 - x^2/64 + x^3/512، وهو صالح عندما |x| < 4.
5. عند x = 0.1 نحصل على 2.0248457، وهي القيمة الحقيقية لـ sqrt(4.1) لسبع منازل عشرية.

مثال محلول ٣: أول ثلاثة حدود في (1 + x)/(1 - 2x)

1. نكتبها (1 + x)(1 - 2x)^(-1).
2. (1 - 2x)^(-1) = 1 + 2x + 4x^2 + ...
3. بالضرب في (1 + x) حتى x^2: 1 + 3x + 6x^2.
4. صالح عندما |2x| < 1، أي |x| < 1/2.

أخطاء شائعة تُفقد الدرجات

• كتابة (3x)^3 على أنها 3x^3.
• ضياع إشارة الحد الثاني السالب، فمفكوك (2 - x)^5 إشاراته متناوبة.
• استخدام المتسلسلة غير المنتهية قبل جعل الحد الأول 1.
• إخراج العامل خطأ، مثل كتابة 4 بدل 2 أمام (1 + x/4)^(1/2).
• ذكر الصلاحية لـ x بدل العبارة المعوّضة، مثل |x| < 1 بدل |x| < 4.
• أخطاء تبسيط المعاملات الكسرية عندما يكون n سالبًا أو كسريًا.

أسلوب الإجابة في الامتحان ودور المدرس

اكتب كل حد أولًا دون تبسيط مع وضع حد x كاملًا بين قوسين، ثم بسّط. هذا يكشف أخطاء الإشارة ويضمن درجة الطريقة. وعند استخدام المفكوك للتقدير أظهر التعويض بوضوح.

يجد المدرس في الحصة الفردية أن أخطاء ذات الحدين تأتي غالبًا من عادات جبرية مثل قوى الحد بين قوسين أو الكسور السالبة، فيدرّب الطالب عليها بأسئلة قصيرة مركزة ثم ينتقل إلى أسئلة أوراق سابقة تجمع المفكوك مع الكسور الجزئية أو التقريب.

اختبر نفسك

• فك (1 + x)^(-2) حتى x^3. (الجواب: 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3)
• أوجد الحد الذي فيه x^2 في (3 - x)^6. (الجواب: 1215x^2)
• ما قيم x التي يصلح عندها مفكوك (2 - 3x)^(-1)؟ (الجواب: |x| < 2/3)
• أوجد 7C3. (الجواب: 35)
• فك (1 - x)^(1/2) حتى x^2. (الجواب: 1 - x/2 - x^2/8)