الهندسة وحساب المثلثات في رياضيات SAT: الدوائر والمثلثات والراديان

ما في ورقة القوانين وما يجب أن تعرفه بنفسك

محتوى ورقة القوانين وقائمة المهارات: الإطار التقييمي لاختبارات SAT الرقمية من College Board، تم التحقق في ٦ أكتوبر ٢٠٢٦.

الأفكار الأساسية

حساب المثلثات في SAT نسب في الغالب: الجيب = المقابل ÷ الوتر، وجيب التمام = المجاور ÷ الوتر، والظل = المقابل ÷ المجاور. ولأن الزاويتين الحادتين في المثلث القائم مجموعهما ٩٠°، فجيب إحداهما يساوي جيب تمام الأخرى، وأسئلة مثل «إذا كان sin x° = cos 32° فما x» تعتمد على هذه الحقيقة وحدها.

المثلثات المتشابهة زواياها متساوية وأضلاعها متناسبة. إذا كان أحدهما تكبيرًا للآخر بمعامل k فكل طول يُضرب في k وكل مساحة في k^2 وكل حجم في k^3، والزوايا لا تتغير. والمستقيمات المتوازية التي يقطعها قاطع تكوّن زوايا متبادلة ومتناظرة متساوية، وهذا غالبًا طريق إثبات التشابه.

الدوائر أصعب موضوع. الدائرة التي مركزها (h, k) ونصف قطرها r معادلتها (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2، وإذا أُعطيت مفكوكة فأكمل المربع في x وفي y. وطول القوس ومساحة القطاع جزء من الدائرة: الزاوية θ بالدرجات تعطي θ/360 من المحيط أو المساحة، وبالراديان الدائرة كاملة 2π فطول القوس rθ.

أسئلة المساحة والحجم تخفي القانون غالبًا في سياق، مثل خزان أسطواني أو كوب مخروطي. حدد الشكل وابحث عن قانونه في ورقة القوانين وحافظ على اتساق الوحدات.

مثال محلول ١: مركز الدائرة ونصف قطرها

السؤال: المعادلة x^2 + y^2 - 6x + 8y - 11 = 0 تمثل دائرة في المستوى الإحداثي. ما نصف قطرها؟

1. اجمع حدود x وحدود y: (x^2 - 6x) + (y^2 + 8y) = 11.
2. أكمل المربع في x: x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9.
3. أكمل المربع في y: y^2 + 8y = (y + 4)^2 - 16.
4. عوّض: (x - 3)^2 + (y + 4)^2 = 11 + 9 + 16 = 36.
5. الإجابة: المركز (3, -4) ونصف القطر sqrt(36) = 6، والإجابة الخاطئة الشائعة 36 وهي مربع نصف القطر.

مثال محلول ٢: النسب المثلثية في المثلث القائم

السؤال: في المثلث القائم ABC الزاوية C قائمة وsin A = 5/13. ما قيمة cos A وcos B؟

1. sin A = المقابل ÷ الوتر، فالضلع المقابل لـ A يساوي 5 والوتر 13.
2. فيثاغورس يعطي الضلع المجاور: sqrt(169 - 25) = sqrt(144) = 12.
3. cos A = المجاور ÷ الوتر = 12/13.
4. الزاويتان A وB متتامتان، فـ cos B = sin A = 5/13.
5. الإجابة: cos A = 12/13 وcos B = 5/13.

مثال محلول ٣: طول القوس بالدرجات والراديان

السؤال: دائرة نصف قطرها 10 وزاوية مركزية قياسها ٧٢°. ما طول القوس المقابل لها، وما قياس الزاوية بالراديان؟

1. القوس 72/360 من المحيط، أي خُمسه.
2. المحيط 2π × 10 = 20π، فطول القوس 20π/5 = 4π (نحو 12.57).
3. حوّل الزاوية: 72 × π/180 = 2π/5 راديان.
4. تحقق بقانون الراديان: rθ = 10 × 2π/5 = 4π، والطريقتان متفقتان.

مثال محلول ٤: معامل التكبير في المساحة والحجم

السؤال: المثلث PQR يشابه المثلث XYZ، وكل ضلع في XYZ ثلاثة أمثال نظيره في PQR. مساحة PQR تساوي 12، فما مساحة XYZ؟

1. معامل التكبير للأطوال k = 3.
2. المساحات تُضرب في k^2 = 9.
3. مساحة XYZ = 12 × 9 = 108.
4. لو كانا مجسمين متشابهين لضُربت الحجوم في k^3 = 27، والخطأ الشائع ضرب المساحة في 3.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• إعطاء r^2 بدل r عند السؤال عن نصف القطر.
• أخطاء الإشارة في قراءة المركز: (x + 2)^2 تعني h = -2.
• الخلط بين الدرجات والراديان، أو ترك الحاسبة على النمط الخطأ عند حساب الجيب وجيب التمام.
• ضرب المساحات أو الحجوم في k بدل k^2 أو k^3.
• افتراض أن الشكل مرسوم بمقياس رسم دون أن يذكر السؤال ذلك.
• نسيان أن أقصر ضلع في مثلث 30-60-90 يقابل الزاوية ٣٠°.

أسلوب الاختبار وكيف يساعد المدرس

افتح ورقة القوانين مرة في بداية الاختبار لتعرف مكانها، لكن لا تعتمد عليها في الحقائق الموجودة في العمود الأيسر من الجدول أعلاه. ارسم أي شكل موصوف بالكلمات وضع عليه القيم المعطاة، فمعظم أخطاء الهندسة سببها تصور الشكل خطأً. ويمكن رسم معادلة الدائرة في Desmos لرؤية مركزها، وهذا تحقق سريع بعد إكمال المربع.

ولأن المجال من ٥ إلى ٧ أسئلة فقط، فعلى الطامحين إلى أعلى الدرجات التأكد من إتقان الدوائر والراديان لأنها الأقل تغطية في بعض المناهج المدرسية. وطلاب المدارس البريطانية وIB يعرفون حساب المثلثات جيدًا عادة، لكن ربما لم يدرسوا معادلة الدائرة أو الراديان حديثًا مثل طلاب المنهج الأمريكي.

في الدروس الفردية يعمل المدرس مع الطالب على السبورة المشتركة فيرسمان الأشكال ويسميانها معًا، فيتضح متى يتصور الطالب المسألة خطأً. ثم يضع مجموعات موقوتة قصيرة في أضعف موضوعاته، وهي عادة معادلة الدائرة والتحويل إلى الراديان والتشابه، ويعود إليها حتى تصبح مضمونة.

اختبر نفسك

• أوجد المركز ونصف القطر للدائرة x^2 + y^2 + 4x - 10y + 20 = 0. (الإجابة: المركز (-2, 5) ونصف القطر 3)
• حوّل ١٥٠° إلى الراديان. (الإجابة: 5π/6)
• مثلث 45-45-90 طول ساقيه 6. كم طول الوتر؟ (الإجابة: 6 sqrt(2))
• إذا كان cos x° = sin 40° و0 < x < 90 فما x؟ (الإجابة: 50)
• ضوعف كل حرف في مكعب. بكم يُضرب الحجم؟ (الإجابة: 8)