الرياضيات المتقدمة في SAT: الدوال التربيعية والأسية والمعادلات غير الخطية

ماذا تخبرك كل صيغة من صيغ الدالة

كثير من الأسئلة يسأل أي صيغة تُظهر خاصية معينة، فاحفظ هذا الجدول.

حصة المجال وقائمة الموضوعات: صفحة قسم الرياضيات والإطار التقييمي لاختبارات SAT الرقمية من College Board، تم التحقق في ٦ أكتوبر ٢٠٢٦.

الأفكار الأساسية

الدوال التربيعية قلب هذا المجال. يجب أن تنتقل بين الصيغ الثلاث: التحليل لإيجاد الأصفار، وإكمال المربع لإيجاد الرأس، والفك للمقارنة بصيغة قياسية. والمميز b^2 - 4ac يحدد عدد الحلول الحقيقية: موجب يعني حلين، وصفر حلًا واحدًا، وسالب لا حلول. ومجموع حلي ax^2 + bx + c = 0 هو -b/a وحاصل ضربهما c/a، وهذا يجيب عن بعض الأسئلة دون حل.

الدوال الأسية على الصورة a(b)^t، حيث a القيمة الابتدائية وb معامل النمو في كل فترة. المعامل 1.05 يعني نموًا بنسبة ٥٪، و0.9 يعني تناقصًا بنسبة ١٠٪. الدالة الخطية تضيف المقدار نفسه كل فترة، والأسية تضرب في العامل نفسه، وكثيرًا ما يطلب SAT التمييز بينهما من جدول.

المعادلات الجذرية والنسبية قد تنتج حلولًا دخيلة. عند تربيع الطرفين أو الضرب في عبارة فيها x عوّض دائمًا في المعادلة الأصلية واستبعد أي حل لا يحققها أو يجعل مقامًا صفرًا.

أسئلة العبارات المتكافئة تقيس فهم البنية: العبارتان متكافئتان إذا تساوتا لكل قيم x المسموحة. ومع الثوابت المجهولة افتح الأقواس وقارن المعاملات: إذا كان (ax + 3)(x - 2) = 4x^2 + bx - 6 لكل x فإن a = 4 وb = 3 - 8 = -5.

مثال محلول ١: إكمال المربع

السؤال: أعيدت كتابة الدالة f(x) = x^2 - 6x + 5 على الصورة f(x) = (x - h)^2 + k. ما قيمة k وماذا تُظهر؟

1. خذ نصف معامل x: -6 ÷ 2 = -3، فيكون المربع (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9.
2. عدّل الثابت: x^2 - 6x + 5 = (x - 3)^2 - 9 + 5 = (x - 3)^2 - 4.
3. إذن h = 3 وk = -4، والرأس (3, -4)، فالقيمة -4 هي القيمة الصغرى للدالة.
4. تحقق بالفك: (x - 3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 5، صحيح.

مثال محلول ٢: تفسير نموذج أسي

السؤال: عدد المشتركين في قناة بعد t سنة من إطلاقها يُنمذج بـ P(t) = 800(1.05)^t. ماذا يعني 1.05، وكم مشتركًا يتوقع النموذج بعد سنتين؟

1. 800 هي القيمة عند t = 0، أي عدد المشتركين عند الإطلاق.
2. 1.05 معامل النمو: يُضرب العدد كل سنة في 1.05، أي زيادة ٥٪ سنويًا.
3. بعد سنتين: P(2) = 800 × 1.1025 = 882.
4. الإجابة: نمو ٥٪ سنويًا و٨٨٢ مشتركًا بعد سنتين، وليس 880، لأن النمو الأسي مركّب.

مثال محلول ٣: معادلة جذرية فيها حل دخيل

السؤال: ما قيمة x التي تحقق sqrt(x + 7) = x - 5؟

1. ربّع الطرفين: x + 7 = x^2 - 10x + 25.
2. أعد الترتيب: 0 = x^2 - 11x + 18.
3. حلّل: (x - 9)(x - 2) = 0، إذن x = 9 أو x = 2.
4. تحقق من x = 9: sqrt(16) = 4 و9 - 5 = 4، صحيح.
5. تحقق من x = 2: sqrt(9) = 3 لكن 2 - 5 = -3، والجذر التربيعي لا يكون سالبًا، فهو حل دخيل.
6. الإجابة: x = 9 فقط.

مثال محلول ٤: مجموع الحلول دون حل

السؤال: ما مجموع حلول المعادلة 2x^2 - 7x + 3 = 0؟

1. في ax^2 + bx + c = 0 مجموع الحلول -b/a.
2. هنا a = 2 وb = -7، فالمجموع 7/2.
3. تحقق بالحل: (2x - 1)(x - 3) = 0 تعطي 1/2 و3، ومجموعهما 7/2.
4. في سؤال الإجابة المكتوبة أدخل 7/2 أو 3.5.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• إعطاء الإحداثي x للرأس بينما المطلوب القيمة الصغرى أو العظمى.
• قراءة معدل النمو 1.05 على أنه ١٫٠٥٪ بدل ٥٪، أو 0.9 على أنه تناقص ٩٠٪ بدل ١٠٪.
• نسيان فحص الحلول الدخيلة بعد التربيع.
• أخطاء الإشارة في صيغة الرأس: رأس (x + 3)^2 عند x = -3 لا 3.
• معاملة النمو الأسي كأنه خطي عند التقدير على عدة فترات.
• مقارنة معامل واحد فقط في أسئلة التكافؤ بدل جميع المعاملات.

أسلوب الاختبار وكيف يساعد المدرس

في هذا المجال تفيد Desmos أكثر من غيره: رسم الدالة التربيعية يُظهر أصفارها ورأسها، ورسم طرفي المعادلة الجذرية يُظهر فورًا أن لها حلًا واحدًا. لكن الأسئلة ذات الثوابت المجهولة، مثل «ما قيمة c التي تجعل المعادلة بلا حلول حقيقية»، تحتاج إلى المميز أو مقارنة المعاملات.

الأسئلة في كل وحدة مرتبة من الأسهل إلى الأصعب، فأصعب أسئلة الرياضيات المتقدمة تأتي غالبًا قرب نهاية الوحدة. وإذا كان هدفك درجة رياضيات قريبة من ٧٠٠ أو أعلى فهذا هو المجال الذي يجب إتقانه، لأن أصعب أسئلته تكافئ معرفة الصيغ والقواعد لا الحسابات الطويلة.

في الدروس الفردية يحدد المدرس أي العائلات الأربع (صيغ التربيعية، النماذج الأسية، الحلول الدخيلة، العبارات المتكافئة) تكلّف الطالب درجات، ويشرح القاعدة على السبورة المشتركة، ثم يدمجها في مجموعات أسئلة موقوتة ليتعلم الطالب التعرف عليها تحت الضغط. وطلاب IGCSE وIB يحتاجون غالبًا تدريبًا إضافيًا على قراءة النماذج الأسية بلغة السياق الأمريكية.

اختبر نفسك

• حل x^2 - 2x - 15 = 0. (الإجابة: x = 5 أو x = -3)
• اكتب x^2 + 10x + 21 بصيغة الرأس. (الإجابة: (x + 5)^2 - 4)
• A(t) = 500(0.9)^t: صف التغير السنوي. (الإجابة: تناقص ١٠٪ سنويًا)
• حل sqrt(2x + 3) = x. (الإجابة: x = 3، وx = -1 دخيل)
• كم حلًا حقيقيًا للمعادلة 3x^2 + 2x + 5 = 0؟ (الإجابة: لا حلول، المميز -56)