الجبر في رياضيات SAT: المعادلات الخطية والمتباينات والأنظمة

مهارات الجبر الخمس في SAT

هذه نقاط المهارات والمعارف التي تذكرها College Board لمجال الجبر.

المصدر: صفحة نظرة عامة على قسم الرياضيات والإطار التقييمي لاختبارات SAT الرقمية من College Board، تم التحقق في ٦ أكتوبر ٢٠٢٦.

الأفكار الأساسية

العلاقة الخطية تتغير بالمقدار نفسه مع كل خطوة متساوية. في y = mx + b يمثل m معدل التغير (الميل)، ويمثل b القيمة الابتدائية (المقطع، أي قيمة y عند x = 0). ومعظم أسئلة السياق في هذا المجال تسأل في الحقيقة: أيّ هذين العددين هو؟ فإذا كان النادي يفرض رسم اشتراك ثابتًا ورسمًا شهريًا، فالرسم الثابت هو b والشهري هو m.

نظام المعادلتين الخطيتين هو مستقيمان: إما أن يتقاطعا مرة واحدة (حل وحيد)، أو لا يتقاطعا أبدًا (متوازيان بميل واحد ومقطعين مختلفين، فلا حل)، أو ينطبقا (حلول لا نهائية). لإيجاد ثابت يجعل النظام بلا حل اجعل معاملي x وy متناسبين دون الثابتين، وللحلول اللانهائية اجعل الثلاثة متناسبة.

المتباينات تُحل كالمعادلات مع قاعدة إضافية: الضرب أو القسمة على عدد سالب تقلب إشارة المتباينة. وفي السياق تأكد هل يجب أن يكون الجواب عددًا صحيحًا، وهل عبارة «على الأكثر» تعني التقريب إلى الأسفل.

كثير من أسئلة SAT تطلب عبارة لا قيمة x. فإذا كان 3x + 6 = 21 والمطلوب x + 2، فاقسم المعادلة كلها على ٣ لتحصل مباشرة على x + 2 = 7.

مثال محلول ١: معادلة فيها كسر

السؤال: إذا كان (2/3)(x - 6) = x - 10 فما قيمة x؟

1. اضرب الطرفين في ٣ للتخلص من الكسر: 2(x - 6) = 3(x - 10).
2. فك الأقواس: 2x - 12 = 3x - 30.
3. اجمع الحدود: -12 + 30 = 3x - 2x، إذن x = 18.
4. تحقق: (2/3)(12) = 8 و18 - 10 = 8، والإجابة صحيحة.

مثال محلول ٢: نظام ليس له حل

السؤال: في النظام ax + 3y = 7 و4x + 6y = 9 حيث a ثابت، ما قيمة a التي تجعل النظام بلا حل؟

1. عدم وجود حل يعني مستقيمين متوازيين: معاملا x وy بالنسبة نفسها، والثابتان ليسا كذلك.
2. معاملا y هما 3 و6 بنسبة ١ إلى ٢، فيجب أن يكون a نصف 4، أي a = 2.
3. تحقق من الثابتين: 7 و9 ليسا بنسبة ١ إلى ٢ (نصف 9 هو 4.5)، فالمستقيمان متوازيان ومختلفان.
4. الإجابة a = 2: تصبح المعادلة الأولى 2x + 3y = 7 والثانية بعد القسمة على ٢ هي 2x + 3y = 4.5، ولا يمكن أن تتحققا معًا.

مثال محلول ٣: نموذج خطي في سياق

السؤال: خزان ماء سعته ١٬٢٠٠ لتر، وعند فتح الصمام يكون الحجم V باللتر بعد t دقيقة هو V = 1,200 - 15t. ماذا يمثل العدد 15، وبعد كم دقيقة يبقى في الخزان ٤٥٠ لترًا؟

1. 15 هو معامل t، أي معدل التغير: يفقد الخزان ١٥ لترًا كل دقيقة، و1,200 هو الحجم عند t = 0.
2. عوّض V = 450: 450 = 1,200 - 15t.
3. أعد الترتيب: 15t = 750، إذن t = 50.
4. الإجابة: يتسرب ١٥ لترًا في الدقيقة، ويبقى ٤٥٠ لترًا بعد ٥٠ دقيقة.

مثال محلول ٤: متباينة مع ميزانية

السؤال: خدمة توصيل تفرض رسمًا ثابتًا قدره 12 إضافة إلى 2.5 لكل كيلومتر، والعميل سيدفع 50 على الأكثر. ما أكبر عدد صحيح من الكيلومترات يمكن أن يغطيه التوصيل؟

1. اكتب المتباينة: 12 + 2.5d ≤ 50 حيث d المسافة بالكيلومتر.
2. اطرح 12: 2.5d ≤ 38، ثم اقسم على 2.5: d ≤ 15.2.
3. المطلوب عدد صحيح من الكيلومترات، فقرّب إلى الأسفل: 15. أما 16 فتكلف 52 وتتجاوز الميزانية.
4. الإجابة ١٥ كم، والتحقق: 12 + 2.5(15) = 49.5 وهي ضمن 50.

أخطاء شائعة تضيّع الدرجات

• إيجاد x بينما السؤال يطلب 2x أو x + y أو عبارة أخرى.
• الخلط بين الميل والمقطع في السياق: المقدار لكل وحدة هو الميل، والمقدار الثابت أو الابتدائي هو المقطع.
• نسيان قلب إشارة المتباينة عند القسمة على عدد سالب.
• التقريب في الاتجاه الخطأ في مسائل «على الأكثر» و«على الأقل».
• الحكم بأن للنظام حلولًا لا نهائية لمجرد تناسب المعاملات دون فحص الثوابت.
• ضياع إشارة السالب عند نقل الحدود عبر علامة المساواة.

أسلوب الاختبار وكيف يساعد المدرس

تظهر أسئلة الجبر في الوحدتين، ولأن الأسئلة في كل وحدة مرتبة من الأسهل إلى الأصعب فغالبًا ما تكون الأولى معادلات خطية مباشرة. أجب عنها بعناية لا بسرعة، فالأخطاء في الوحدة الأولى مكلفة لأن أداءك فيها يحدد هل تكون الوحدة الثانية أصعب أم أسهل. ضع خطًا تحت المطلوب قبل البدء.

في أسئلة السياق اكتب معنى المتغيرات بالكلمات قبل الأرقام، مثل: C التكلفة الكلية وn عدد الأشهر. وفي الأنظمة قرر خلال ثوانٍ بين الحذف باليد والرسم في Desmos. وفي الأسئلة التي تكتب فيها الإجابة يمكن إدخال كسر مثل 7/2 مباشرة دون تحويله إلى عدد عشري.

في الدروس الفردية يقرأ المدرس خطوات الطالب على السبورة المشتركة ويكتشف النمط وراء الدرجات الضائعة، وهو في الجبر غالبًا القراءة لا الطريقة. ثم تجمع الدروس بين مجموعات قصيرة من أسئلة بأسلوب الاختبار الرسمي وعادة محددة يتدرب عليها الطالب، مثل كتابة معنى كل عدد في السياق، حتى يفعلها تلقائيًا.

اختبر نفسك

• حل 4(x - 3) = 2x + 10. (الإجابة: x = 11)
• ما قيمة k التي تجعل النظام 2x + ky = 5 و6x + 9y = 4 بلا حل؟ (الإجابة: k = 3)
• أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين (1, 4) و(3, 10). (الإجابة: y = 3x + 1)
• ما أكبر عدد صحيح x يحقق 7 - 2x > 1؟ (الإجابة: 2)
• باقة هاتف تكلفتها C = 20 + 0.5m لعدد m من الدقائق. اشرح بالكلمات ماذا يمثل 0.5.